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EXAMEN - BORDEAUX, MAI 2002
( 5 ) Soit M (u, v) , le nombre de solutions (x, y) E ( z / ~ z ) ~
du système
Montrer que M (0,O) = p - 1, M (O, u) = O si u # O (modp) et
(symbole de Legendre) si uv # O.
(6) En déduire que
(on rappelle que x t + (x/p) est un caractère non-trivial modulo fi).
('7) Calculer V4 (p) et montrer que
pour tout a, b tels que p 1. Zab.
(8) En comparant V2 (p) et V4 (p) , montrer qu'il existe a (mod p) tel que
(9) Heuristiquement, quel ordre de grandeur attendriez-vous pour Vk (p) , k quelconque ?
Problème 2. (1) Montrer que pour y, x 2 1 et m > max(y, x) on a
[Indication : Vérifier d'abord que
et séparer la somme en quatre termes suivant que b < y, b > y , c < z et c > z.]
(2) Soit a E R. On rappelle les deux estimations du cours
où q 2 1 vérifie la - a/ql < q-2 avec (a,q) = 1 et laml < 1, /Pn/ < 1.
EXAMEN - BORDEAUX, MAI 2002
( 5 ) Soit M (u, v) , le nombre de solutions (x, y) E ( z / ~ z ) ~
du système
Montrer que M (0,O) = p - 1, M (O, u) = O si u # O (modp) et
(symbole de Legendre) si uv # O.
(6) En déduire que
(on rappelle que x t + (x/p) est un caractère non-trivial modulo fi).
('7) Calculer V4 (p) et montrer que
pour tout a, b tels que p 1. Zab.
(8) En comparant V2 (p) et V4 (p) , montrer qu'il existe a (mod p) tel que
(9) Heuristiquement, quel ordre de grandeur attendriez-vous pour Vk (p) , k quelconque ?
Problème 2. (1) Montrer que pour y, x 2 1 et m > max(y, x) on a
[Indication : Vérifier d'abord que
et séparer la somme en quatre termes suivant que b < y, b > y , c < z et c > z.]
(2) Soit a E R. On rappelle les deux estimations du cours
où q 2 1 vérifie la - a/ql < q-2 avec (a,q) = 1 et laml < 1, /Pn/ < 1.