EXAMEN - BORDEAUX, MAI 2002
Problème 1. Soit S ( a , b;p) la somme de Kloosterman modulo p premier
*
où a , b E Z sont des entiers, et C restreint la somme aux éléments premiers à p. O n
suppose dans toute la suite que p # 2 .
(1 ) Montrer que S (a, b; f i ) = S (b, a; f i ) et S (an, b; p) = S (a, bn; p) pour tout n tel que
( n , p ) = 1.
Pour k 2 1 entier, on pose
v k ( p ) =
C* s ( a , W k .
a (modP)
(2) Montrer que pour tout (b,p) = 1 on a
et en déduire que
(3) Montrer que
où N k ( p ) est le nombre de solutions ( x i , . . . , xk ) E ( ( Z / P Z ) - { O ) ) du système
(4) En déduire que Vl ( p ) = O et Vn (P) = fi2 - fi - 1 .
Problème 1. Soit S ( a , b;p) la somme de Kloosterman modulo p premier
*
où a , b E Z sont des entiers, et C restreint la somme aux éléments premiers à p. O n
suppose dans toute la suite que p # 2 .
(1 ) Montrer que S (a, b; f i ) = S (b, a; f i ) et S (an, b; p) = S (a, bn; p) pour tout n tel que
( n , p ) = 1.
Pour k 2 1 entier, on pose
v k ( p ) =
C* s ( a , W k .
a (modP)
(2) Montrer que pour tout (b,p) = 1 on a
et en déduire que
(3) Montrer que
où N k ( p ) est le nombre de solutions ( x i , . . . , xk ) E ( ( Z / P Z ) - { O ) ) du système
(4) En déduire que Vl ( p ) = O et Vn (P) = fi2 - fi - 1 .