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CHAPITRE 8. ÉQUIRÉPARTITION DES RACINES DE CONGRUENCES QUADRATIQUES
Démonstration. - Au vu de l'équivalent pour N' (x) , il s'agit de démontrer que
M(x) > (1 - ~ + 0 ( 1 ) ) 2
log x
pour x + +m. Or on remarque que, pour tout A > 2 $xé et x > A, on a
pour x + +m. Prenant A assez grand pour E fixé, on obtient le résultat.
O
Il n'est pas facile par contre d'obtenir une majoration pour N (x) et cela nécessite
vraiment d'entrer dans le détail de l'analyse harmonique des << très petites >> racines de
v2 + 1 = O (modp) (par rapport à p). L'idée pour cela est bien entendu maintenant
claire : il faut reprendre, si l'on veut, la preuve du critère d'équirépartition de Weyl et
essentiellement développer en série de Fourier (ou autre type d'harmoniques) une
fonction (lisse) f approchant la fonction caractéristique de l'intervalle [O, S(x)], où
S(x) < 1/2 est une fonction décroissante tendant vers O :
et alors
où
P < X v2+1=0 (modp)
est une des sommes de Weyl estimées pour prouver le Théorème 1.2.1. Le problème
est donc de calculer les coefficients de Fourier de f , ce qui ne pose guère de problème ; mais surtout d'avoir une version précise et uniforme en h pour sh (x) . La majoration obtenue par le théorème de crible ne suffit plus car les « termes de bords >>
estimés trivialement dans celui-ci sont trop grands pour être sommés pour h vérifiant,
par exemple Ihl < xs avec S > 0, qui serait une condition naturelle.
Ce type d'idée se retrouve également dans la théorie dite de la « discrépance ». On
voit donc qu'il reste à faire du travail ...
COURS SPÉCIAI,ISÉS 13