8.4. CONCLUSION ET APPLICATIONS
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D'après le lemme, arctan(m) est irréductible si et seulement si il existe p 1 m2 + 1
tel que 2 2m. Or un tel p est alors unique puisque fi < q implique pq 2 4m2 > m2 + 1.
On peut donc écrire
pa2x
m

2x m m2=-1 (modp)
m2=-1 (modp)
= N' (x) + M (x) disons.
La somme sur m dans N' (x) pour p fixé est 1 si p = 1 (mod 4) et O sinon (puisque
m < p/2 donc m est déterminé par sa réduction modulo p qui est la racine m < p/2
de m2 + 1 O (modp) si elle existe). Cela démontre que
X
N' (x) = n(2x; 4 , l ) - - log 2x
quand x -+ +oo, par le théorème des nombres premiers pour cette progression
arithmétique.
Quand à M (x) on peut réécrire
Cela ressemble beaucoup aux quantités estimées par (1.2) par l'équirépartition
des racines de x2 + 1 modulo p, si ce n'est que l'intervalle où l'on cherche les parties
fractionnaires
varie avec x et p.
{il
Heuristiquement, puisque les racines v sont équiréparties modulo p, il est normal
de supposer que, pour p donné, la « probabilité >> que v vérifie l'inégalité est x/p, ce
qui amène à conjecturer que
X
log(x2 + 1)
N (log 2) x
log 2x
(par (2.8) ).
Il s'agit donc d'étendre l'énoncé d'équirépartition à des intervalles variables, et
dont la taille, ici, est x/p, donc aussi petit que
puisque p < x2 + 1.
Le théorème 1.2.1 permet tout de même un premier résultat.
Proposition 8.4.11. - Pour tout E > O on a
quand x + +m.
SOCIETE MATHEMATIQUE DE FRANCE 2004