218
CHAPITRE 8. ÉQUIRÉPARTITION DES RACINES DE CONGRUENCES QUADRATIQUES
La nécessité du second critère est simple à établir en remarquant que k arctan(m) =
arg(1 k im) , où l'argument est pris entre -n/2 et rç/2 : l'identité (8.18) signifie
le signe dans (1 f mj)lni étant celui de nj.
Ainsi w E Q, mais si w = a/b avec a, b E Z et (a, b) = 1, on trouve
k
(1 + im)a = b n (1 f mj) lnjl = b(a + ip) disons,
j=l
avec a, p E Z. Prenant la partie réelle,
On a donc
a ( l + im)
d'où en prenant le module au carré
on a a = ba donc w = a/b = a E Z.
donc p 1 1 + m2 implique qu'il existe j tel que p 1 1 + m2, et comme m j < m par
9
l'hypothèse de réductibilité, on trouve bien le critère annoncé.
La réciproque est laissée en exercice ($ [T, § 71) ; disons seulement que le processus de réduction est tout à fait constructif et qu'étant donné m vérifiant l'une des
conditions de réductibilité, on peut écrire explicitement une décomposition (8.18)
associée.
O
La question maintenant posée est :
Problème 8.4.7. - Soit N (x) le nombre d'entiers m < x tels que arctan(m) est irréductible.
Quel est le comportement de N (x) quand x + + m ?
On sait que N (x) + + m (et aussi, réciproquement, qu'il y a une infinité de m tels
que arctan(rr1) est réductible) : en effet, si S est un ensemble fini d'entiers m tels que
arctan(m) est irréductible, soit p un nombre premier tel que p > max{l +m2 1 m E S)
et p = 1 (mod4). Il existe m 1 tel que p 1 m2 + 1 (c'est-à-dire m2 = -1 (modp)), et
nécessairement m & S, tandis que (par le même raisonnement utilisé dans la preuve
du lemme) soit arctan (m) est irréductible, soit arctan (m) s'écrit sous la forme (8.18)
avec mj & S. Dans tous les cas, on a construit un élément irréductible hors de S, ce
qui donne N (x) -+ + m .
Nous allons voir qu'un raisonnement simple basé sur une extension possible du
théorème d'équirépartition amène à une conjecture précise :
Conjecture 8.4.1 0. - On a
N (x) - (log 2)x
quand x + + m .
COURS SPÉCIALISÉS 13