8.4. CONCLUSION ET APPLICATIONS
D'après le Théorème 1.2.1 appliqué à x2 + 1, on a
et il existe donc certainement une infinité de p = 1 (mod4) pour lesquels l'équation (8.15) n'a pas de solution modulo p.
O
La dernière application reste conjecturale et permettra de démontrer que l'histoire n'est pas finie ... Elle a pour source un problème élémentaire, d'apparence
seulement amusant, discuté dans [Tl : pour quelles valeurs de m 2 1 entier est-ce
que arctan(m) est une combinaison linéaire à coefficients entiers d'autres valeurs
arctan(k) ? De telles identités sont bien classiques, comme par exemple la formule
qui provient de la formule de calcul de n:
Tc
1
- = arctan(1) = 4arctan(i) -
4
de J. Machin (1'706). Plus précisément, on dit que arctan(m) est réductible si on peut
écrire
k
(8.18)
arctan (m) =
nj arctan (mi)
j=l
avec nj E Z et 1 < m j < m (on peut démontrer que considérer nj E Q n'apporterait
rien de nouveau), et irréductible sinon (voir la suite A002312 de l'encyclopédie des
suites d'entiers [SL]. On a alors le critère suivant :
Lemme 8.4.8. - Soit m 2 1 un entier. Alors arctan(m) est réductible si et seulement si leplus
grand diviseur premier p de m2 + 1 v h j i e p < 2m.
Par exemple 23g2 + 1 = 2 . lS4.
Démonstration. - Nous donnons seulement les indications essentielles : les arguments
sont tout à faire élémentaires. Nous admettons d'abord le critère intermédiaire suivant : arctan(m) est réductible si et seulement si tout diviseur premier f~ 1 m2 + 1
vérifie p 1 n2 + 1 pour un entier n, 1 < n < m. (Par exemple, pour 239, on a 2 1 32 + 1
et 13 165 = 82 + 1).
Soit alors d'abord m tel que arctan(m) est irréductible, et supposons que P 1 m2 + 1
vérifie p 2 2m. D'après le critère ci-dessus, il existe k, 1 < k < m tel que fi 1 k2 + 1.
Alors
p 1 m2 - k2 = ( m - k ) ( m + k )
mais O < m - k < m < p et m + k < 2m < p, d'où une contradiction.
Réciproquement, supposons que tout p 1 m2 + 1 est < 2m. Pour p 1 m2 + 1, il existe
alors k < (p - 1 ) / 2 < m tel que k2 = -1 (modp), c'est-à-dire p 1 k2 + 1 avec k < m.
Par le critère intermédiaire, arctan (m) est alors réductible.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
D'après le Théorème 1.2.1 appliqué à x2 + 1, on a
et il existe donc certainement une infinité de p = 1 (mod4) pour lesquels l'équation (8.15) n'a pas de solution modulo p.
O
La dernière application reste conjecturale et permettra de démontrer que l'histoire n'est pas finie ... Elle a pour source un problème élémentaire, d'apparence
seulement amusant, discuté dans [Tl : pour quelles valeurs de m 2 1 entier est-ce
que arctan(m) est une combinaison linéaire à coefficients entiers d'autres valeurs
arctan(k) ? De telles identités sont bien classiques, comme par exemple la formule
qui provient de la formule de calcul de n:
Tc
1
- = arctan(1) = 4arctan(i) -
4
de J. Machin (1'706). Plus précisément, on dit que arctan(m) est réductible si on peut
écrire
k
(8.18)
arctan (m) =
nj arctan (mi)
j=l
avec nj E Z et 1 < m j < m (on peut démontrer que considérer nj E Q n'apporterait
rien de nouveau), et irréductible sinon (voir la suite A002312 de l'encyclopédie des
suites d'entiers [SL]. On a alors le critère suivant :
Lemme 8.4.8. - Soit m 2 1 un entier. Alors arctan(m) est réductible si et seulement si leplus
grand diviseur premier p de m2 + 1 v h j i e p < 2m.
Par exemple 23g2 + 1 = 2 . lS4.
Démonstration. - Nous donnons seulement les indications essentielles : les arguments
sont tout à faire élémentaires. Nous admettons d'abord le critère intermédiaire suivant : arctan(m) est réductible si et seulement si tout diviseur premier f~ 1 m2 + 1
vérifie p 1 n2 + 1 pour un entier n, 1 < n < m. (Par exemple, pour 239, on a 2 1 32 + 1
et 13 165 = 82 + 1).
Soit alors d'abord m tel que arctan(m) est irréductible, et supposons que P 1 m2 + 1
vérifie p 2 2m. D'après le critère ci-dessus, il existe k, 1 < k < m tel que fi 1 k2 + 1.
Alors
p 1 m2 - k2 = ( m - k ) ( m + k )
mais O < m - k < m < p et m + k < 2m < p, d'où une contradiction.
Réciproquement, supposons que tout p 1 m2 + 1 est < 2m. Pour p 1 m2 + 1, il existe
alors k < (p - 1 ) / 2 < m tel que k2 = -1 (modp), c'est-à-dire p 1 k2 + 1 avec k < m.
Par le critère intermédiaire, arctan (m) est alors réductible.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004