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CHAPITRE 8. ÉQUIRÉPARTITION DES RACINES DE CONGRUENCES QUADRATIQUES
ou bien (multipliant encore par une constante) si et seulement si
Or il est élémentaire qu'un polynôme
est dérivée d'une fraction rationnelle dans Fp(z) si et seulement tous les coefficients
de z3P-l avec j 2 1 sont nuls (afin de pouvoir intégrer formellement ...)
Ici le polynôme dans le membre de droite de (8.16) est de degré 6 2p - 2 d'après
la définition de {x). Donc il existe une solution y E Fp (z) de (8.15) si et seulement si
le coefficient de zP-' de
g = (z + i)m(z - i)n
est nul, notant m = p - ( 4 2 + iP/2) - 1, n = p - ( 4 2 - 43/21 - 1.
Une condition trivialement suffisante est que m + n = degg < p - 2. Le point essentiel est que cette condition est également nécessaire. En effet, le changement de variable
w = z + i n'affecte pas l'intégrabilité de g, c'est-à-dire que (8.16) est résoluble si et
seulement si le polynôme
gl = wm(w - 2i)n
admet une primitive. Le coefficient de wP-' de ce polynôme est nul si p - 1 - m > n,
et sinon il vaut
puisque O < p - 1 - m < p - I
e t n ~ p - 1 .
Cela étant, il n'existe donc pas de solutions si et seulement si m + n = deg g > p - 2,
c'est-à-dire si
Il s'agit là clairement d'une condition portant sur la localisation de la racine i de la
congruence i2+l = O (modp) , et donc en relation avec le théorème d'équirépartition
de Duke-Friedlander-Iwaniec. Nous laissons le cas général au lecteur et supposons
pour simplifier que a = 1/2 et P = 2 : dans ce cas l'inégalité (8.1'7) devient
{1/4 + i) + {1/4 - i) < p.
Comme j 5 = 1 (mod 4), on a {1/4) = (3p + 1) /4 et on voit aussitôt que l'inégalité
en question équivaut à
P
1
6 {i) < -, en particulier elle est vraie si - <
4
2
4
puisque on vérifie que la fonction f (b) = {1/4 + b) + {1/4 - 6) ne prend que deux
valeurs pour O < b < p/2, à savoir (3p + 1)/2 > pour 0 6 b < (p - 1)/4 et
(p+ 1)/2 < p pour (p- 1)/4 < b < P R .