8.4. CONCLUSION ET APPLICATIONS
215
La seconde application du théorème principal est due à M. van der Put [VdP]
et concerne, aussi étrange que cela paraisse, un cas particulier d'une généralisation
d'une conjecture de Katz-Grothendieck concernant originellement la relation entre
l'existence de solutions algébriques d'une équation différentielles linéaire
à coefficients ai E Q(z) , et sa résolubilité modulo premier pour presque tout p (voir
l'introduction de [VdP] pour un énoncé simple et rigoureux). La généralisation est
une conjecture de Beukers : soient a, b E Q(z) des fractions rationnelles, alors si
l'équation différentielle
= ay + b
a une solution modulo p dans Fp(z) pour presque tout p, il existe une solution rationnelle y E Q (z) .
Le théorème de Duke-Friedlander-Iwaniec permet de traiter un cas particulier.
Précisément, on a :
Proposition 8.4.7 (van der Put). - Soit a E Q (z) une fraction rationnelle dont le dénominateur est un polynôme irréductible de degré 2. Alors la conjecture ci-dessus est vraie.
Démonstration. - Pour simplifier, on considérera seulement le cas
avec a, p E Q , a & Z et p # O. Dans ce cas il n'y a pas de solution y E Q(z) et il faut
donc démontrer qu'il existe une infinité de p premiers tels que l'équation modulo
n'a pas de solution dans Fp (2).
Soit p =. 1 (mod 4). On note {d) pour d E Fp le représentant entier de d tel que
O < { d } < p - 1. Il existe un unique i E Fp tel que i2 E -1 (modp) et { i } < p/2
(cf: Lemme 1.3.3).
Grâce à l'identité
est solution de l'équation homogène
f
a z + P
y =Z 2 + l Y
(à une << constante » multiplicative g E Fp (zP) près, c'est la seule : le fait que (zp)' = O
explique l'apparition de la fonction {.)).
On cherche une solution de
= ay + b par variation des constantes : posons
y = Ff, alors y est solution de (8.15) si et seulement si
F' = f-'(z2 + 1)-',
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
215
La seconde application du théorème principal est due à M. van der Put [VdP]
et concerne, aussi étrange que cela paraisse, un cas particulier d'une généralisation
d'une conjecture de Katz-Grothendieck concernant originellement la relation entre
l'existence de solutions algébriques d'une équation différentielles linéaire
à coefficients ai E Q(z) , et sa résolubilité modulo premier pour presque tout p (voir
l'introduction de [VdP] pour un énoncé simple et rigoureux). La généralisation est
une conjecture de Beukers : soient a, b E Q(z) des fractions rationnelles, alors si
l'équation différentielle
= ay + b
a une solution modulo p dans Fp(z) pour presque tout p, il existe une solution rationnelle y E Q (z) .
Le théorème de Duke-Friedlander-Iwaniec permet de traiter un cas particulier.
Précisément, on a :
Proposition 8.4.7 (van der Put). - Soit a E Q (z) une fraction rationnelle dont le dénominateur est un polynôme irréductible de degré 2. Alors la conjecture ci-dessus est vraie.
Démonstration. - Pour simplifier, on considérera seulement le cas
avec a, p E Q , a & Z et p # O. Dans ce cas il n'y a pas de solution y E Q(z) et il faut
donc démontrer qu'il existe une infinité de p premiers tels que l'équation modulo
n'a pas de solution dans Fp (2).
Soit p =. 1 (mod 4). On note {d) pour d E Fp le représentant entier de d tel que
O < { d } < p - 1. Il existe un unique i E Fp tel que i2 E -1 (modp) et { i } < p/2
(cf: Lemme 1.3.3).
Grâce à l'identité
est solution de l'équation homogène
f
a z + P
y =Z 2 + l Y
(à une << constante » multiplicative g E Fp (zP) près, c'est la seule : le fait que (zp)' = O
explique l'apparition de la fonction {.)).
On cherche une solution de
= ay + b par variation des constantes : posons
y = Ff, alors y est solution de (8.15) si et seulement si
F' = f-'(z2 + 1)-',
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004