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CHAPITRE 8. ÉQUIRÉPARTITION DES RACINES DE CONGRUENCES QUADRATIQUES
Remarque 8.4.5. - L'estimation de Weil pour les sommes de Kloosterman, à savoir
IS(a, a;!)) 1 < 2 , h
si + ab (cf: (7.21)) suggère encore d'écrire
S(a, b;p) = 2 , h c o s 0 ~
avec Op E [O, n] , appelé logiquement l'angle de S(a, b;p). Les Op, p < x, sont-ils équirépartis quand x + +oo ? On conjecture que oui, mais pour une mesure différente
de la mesure n-ld0 :
Conjecture 8.4.6 (Conjecture de Sato-Tate pour les sommes de Kloosterman)
Soient a, b E Z des entiers non nuls. Alors les angles Op associés aux sommes S (a, b; p) pour
p premier sont équirépartis pour la mesure p dite de Sato-Tate
sur [O, n] .
Cette conjecture est complètement ouverte. La difficulté présente par rapport à
l'argument précédent pour les sommes de Salié est qu'il n'y a pas de formule explicite pour les angles Op. On peut démontrer (c'est la clé de la preuve originale de
l'estimation de Weil) qu'il existe ap , pF tels que
mais la variation de ces ap, pp avec p est complètement mystérieuse et empêche pour
l'instant tout progrès. Notons cependant que récemment Fouvry et Michel [FM] ont
exploité (entre autres) les propriétés de multiplicativité des sommes de Kloosterman
pour obtenir des résultats partiels concernant la répartition des arguments et modules
des sommes S(a, b; c) où c parcourt tous les entiers, ou bien même les entiers ayant
au plus un certain nombre k > 1 (fixé, k = 23 convient) de facteurs premiers(2).
En plus des expériences numériques aisément réalisables qui sont très convaincantes, une certaine confirmation théorique de la conjecture est la validité de son
analogue «vertical », prouvé par N. Katz [K2] : rappelons que Op dépend de a et b.
Notons alors maintenant O p , l'angle correspondant à S (a, 1; p) . Alors pour p -+ +CO,
les p - 1 angles (Op,,) où a E FX deviennent équirépartis pour p, c'est-à-dire que
P
pour toute fonction continue f E C ( [O, n] ) .
La preuve de ce résultat fait appel aux résultats profonds de Deligne concernant
l'Hypothèse de Riemann sur les corps finis (conjectures de Weil).
(*)Leurs arguments sont cependant clairement inopérants lorsque k = 1.
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 8. ÉQUIRÉPARTITION DES RACINES DE CONGRUENCES QUADRATIQUES
Remarque 8.4.5. - L'estimation de Weil pour les sommes de Kloosterman, à savoir
IS(a, a;!)) 1 < 2 , h
si + ab (cf: (7.21)) suggère encore d'écrire
S(a, b;p) = 2 , h c o s 0 ~
avec Op E [O, n] , appelé logiquement l'angle de S(a, b;p). Les Op, p < x, sont-ils équirépartis quand x + +oo ? On conjecture que oui, mais pour une mesure différente
de la mesure n-ld0 :
Conjecture 8.4.6 (Conjecture de Sato-Tate pour les sommes de Kloosterman)
Soient a, b E Z des entiers non nuls. Alors les angles Op associés aux sommes S (a, b; p) pour
p premier sont équirépartis pour la mesure p dite de Sato-Tate
sur [O, n] .
Cette conjecture est complètement ouverte. La difficulté présente par rapport à
l'argument précédent pour les sommes de Salié est qu'il n'y a pas de formule explicite pour les angles Op. On peut démontrer (c'est la clé de la preuve originale de
l'estimation de Weil) qu'il existe ap , pF tels que
mais la variation de ces ap, pp avec p est complètement mystérieuse et empêche pour
l'instant tout progrès. Notons cependant que récemment Fouvry et Michel [FM] ont
exploité (entre autres) les propriétés de multiplicativité des sommes de Kloosterman
pour obtenir des résultats partiels concernant la répartition des arguments et modules
des sommes S(a, b; c) où c parcourt tous les entiers, ou bien même les entiers ayant
au plus un certain nombre k > 1 (fixé, k = 23 convient) de facteurs premiers(2).
En plus des expériences numériques aisément réalisables qui sont très convaincantes, une certaine confirmation théorique de la conjecture est la validité de son
analogue «vertical », prouvé par N. Katz [K2] : rappelons que Op dépend de a et b.
Notons alors maintenant O p , l'angle correspondant à S (a, 1; p) . Alors pour p -+ +CO,
les p - 1 angles (Op,,) où a E FX deviennent équirépartis pour p, c'est-à-dire que
P
pour toute fonction continue f E C ( [O, n] ) .
La preuve de ce résultat fait appel aux résultats profonds de Deligne concernant
l'Hypothèse de Riemann sur les corps finis (conjectures de Weil).
(*)Leurs arguments sont cependant clairement inopérants lorsque k = 1.
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