8.4. CONCLUSION ET APPLICATIONS
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naturelle invariante sur ce groupe, de sorte que v = 1/2 (caractère de carré égal à
l'identité) est un analogue naturel du caractère de Legendre. Et, miracle, on a
pour y > O, et seules les fonctions de Bessel d'ordre v = m + 1/2 avec m E Z peuvent
ainsi s'exprimer à l'aide des fonctions élémentaires.
Démonstration d u Théorème 8.4.2. - D'après le lemme, l'existence de Op est immédiate
ainsi que la formule
2nv
Op=-,OubienïcosO~=
C e(;),
P
v2=ab (modp)
v étant la racine de v2 = ab (rnodp) telle que IV/$} E [O, 1/21 , si cette équation a
une solution modulo fi et Op = n/2 si l'équation n'a pas de solution.
Pour démontrer l'équirépartition pour la mesure x-'d0 sur [O, n] , on applique la
Proposition 1.4.2 aux fonctions continues 0 H cosk(0), k 2 O, dont les combinaisons
linéaires sont denses dans C ([O, n] ) . Notons que
si k est pair
si k est impair.
On a par (8.14)
(où ph (P) est comme précédemment, cf: par exemple (1.12) ) .
D'après le théorème d'équirépartition pour les racines du polynôme f = x2 - 4ab,
qui est irréductible puisque ab n'est pas un carré par hypothèse (Théorème 1.2.1
pour ab < O et son extension [To] par T6th aux discriminants positifs, cf: la Remarque 1.4.6, (2)), sous la forme des estimations de sommes de Weyl, il vient
1
k
si k impair, donc k # 2 j pour tout j
C cos (Op) =
n ( 4 p $(k:2)
+o(1) si k = 2 j est pair.
Ainsi donc on a pour k 2 O
1
k
1
iim - 2 cos (0,) = - 1, cosk (0)d0,
x-+m 4 4 fi(,
n
et le critère de Weyl implique l'équirépartition.