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CHAPITRE 8. ÉQUIRÉPARTITION DES RACINES DE CONGRUENCES QUADRATIQUES
Or on calcule
en complétant le carré (puisque 2a # O dans Z/pZ) :
Comme aussi g (wz) = xp (z) g ( w ) il vient, après disparition du symbole de Legendre,
A s(a) = - g(a) =* b
- p 2 G )
* x (modp)
P
et la dernière somme est la somme de Ramanujan cp(b - p2&) ($ 2.52). Donc
par (8.13) et le calcul (direct ici puisque le module est premier) de cp(m) , en prenant
a = 1 il vient
= g ( 4
4ab-p2=0 (modp)
d'où le résultat par un dernier changement de variable et (8.12) puisque
Rimarque 8.4.4. - Cet énoncé peut se généraliser facilement à T (a, b; c) pour tout c
tel que (2a, c) = 1. Noter que l'on obtient aussitôt
pour p + Za, c'est-à-dire l'analogue exact de l'estimation de Weil (7.21) pour les
sommes de Kloosterman, mais avec une preuve infiniment plus simple.
On peut se demander s'il existe une bonne raison pour que les sommes de Salié
soient ainsi plus faciles à calculer que les sommes de Kloosterman. C'est effectivement
le cas et cela provient de la très forte analogie entre les sommes de Kloosterman ou
de Salié et les fonctions de Bessel : par exemple, on peut comparer (6.23) et (7.18)
ou (8.1 1) , en notant que t H t-\) est un << caractère P de [O, +oa [ et dt/t la mesure
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 8. ÉQUIRÉPARTITION DES RACINES DE CONGRUENCES QUADRATIQUES
Or on calcule
en complétant le carré (puisque 2a # O dans Z/pZ) :
Comme aussi g (wz) = xp (z) g ( w ) il vient, après disparition du symbole de Legendre,
A s(a) = - g(a) =* b
- p 2 G )
* x (modp)
P
et la dernière somme est la somme de Ramanujan cp(b - p2&) ($ 2.52). Donc
par (8.13) et le calcul (direct ici puisque le module est premier) de cp(m) , en prenant
a = 1 il vient
= g ( 4
4ab-p2=0 (modp)
d'où le résultat par un dernier changement de variable et (8.12) puisque
Rimarque 8.4.4. - Cet énoncé peut se généraliser facilement à T (a, b; c) pour tout c
tel que (2a, c) = 1. Noter que l'on obtient aussitôt
pour p + Za, c'est-à-dire l'analogue exact de l'estimation de Weil (7.21) pour les
sommes de Kloosterman, mais avec une preuve infiniment plus simple.
On peut se demander s'il existe une bonne raison pour que les sommes de Salié
soient ainsi plus faciles à calculer que les sommes de Kloosterman. C'est effectivement
le cas et cela provient de la très forte analogie entre les sommes de Kloosterman ou
de Salié et les fonctions de Bessel : par exemple, on peut comparer (6.23) et (7.18)
ou (8.1 1) , en notant que t H t-\) est un << caractère P de [O, +oa [ et dt/t la mesure
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