8.4. CONCLUSION ET APPLICATIONS
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Théorème 8.4.2. - Soient a, b des entiers tels que ab n'est pas un carré. Alors pour tout p
premier tel que j!~ ii 2a il existe un unique « angle » Op E [O, n ] tel que
T (a, b; fi) = 2T (a, 0 ; fi) cos Op
et quand fi -+ +oo, les angles Op sont équirépartis dans [O, n ] pour la mesure de Lebespe
normalisée n- dx .
La première partie est bien connue, et se déduit aussitôt du calcul explicite suivant :
Lemme 8.4.3. - O n a pour tout p f 2a
La preuve ci-dessous est due à P. Sarnak [Sa].
Démonstration. - Notons x p le caractère de Legendre modulo fi (Exemple 2.6.10, ( 3 ) ) :
Il sera utile de noter aussi que
pour z # O : en effet puisque 1 + x p ( x ) est le nombre de solution de y2 = x dans
Z / p Z , on a
O
= xp ( z ) T (xp) en posant xz = y.
On considère plus généralement
où a E Z/pZ. Par « transformation de Fourier >> sur Z/pZ (cJ: Proposition 2.4.5) on a
avec
s o c r É ~ É MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
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Théorème 8.4.2. - Soient a, b des entiers tels que ab n'est pas un carré. Alors pour tout p
premier tel que j!~ ii 2a il existe un unique « angle » Op E [O, n ] tel que
T (a, b; fi) = 2T (a, 0 ; fi) cos Op
et quand fi -+ +oo, les angles Op sont équirépartis dans [O, n ] pour la mesure de Lebespe
normalisée n- dx .
La première partie est bien connue, et se déduit aussitôt du calcul explicite suivant :
Lemme 8.4.3. - O n a pour tout p f 2a
La preuve ci-dessous est due à P. Sarnak [Sa].
Démonstration. - Notons x p le caractère de Legendre modulo fi (Exemple 2.6.10, ( 3 ) ) :
Il sera utile de noter aussi que
pour z # O : en effet puisque 1 + x p ( x ) est le nombre de solution de y2 = x dans
Z / p Z , on a
O
= xp ( z ) T (xp) en posant xz = y.
On considère plus généralement
où a E Z/pZ. Par « transformation de Fourier >> sur Z/pZ (cJ: Proposition 2.4.5) on a
avec
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