CHAPITRE 8. ÉQUIRÉPARTITION DES RACINES DE CONGRUENCES QUADRATIQUES
pour tout E 1 > O, en remarquant que (h, nln2) 1 h puisque ni # n2 sont des nombres
premiers et en majorant simplement
T (ni - n2)3 (log x)* < xq
puisque ni < v < x (il est possible de faire mieux puisque l'on va faire une moyenne
sur nl , n2, mais cela suffit ici).
Sommons alors sur ni, n2 pour obtenir la contribution totale des termes ni # ne
à (8.7) : si ~1 < 3 ~ / 4 ,
le premier terme de (8.10) contribue au plus
pour v $
La contribution du second terme est bornée, pour ~1 < ~ / 4 , à une constante
dépendant de D, E et h près, par
Il faut encore tenir compte du terme d'erreur dans (8.8) venant du passage de
C (ni, n2) à C* (nl, n2) : il est
Compte tenu de (8.6) et (8.5), on a donc pour x 2 2
pour tout A > O si w est donné par (8.4) et v = x'/~-', la constante implicite dépendant de D , h, E et A. Cela est suffisant pour prouver (5.42) pour la suite (an) donnée
par (8.3) et finir donc la démonstration de l'équirépartition des racines de l'équation
x2 + D = O modulo p d'après le Corollaire 8.1.2.
8.4. Conclusion et applications
Le Théorème 1.2.1 possède un certain nombres d'applications que nous présentons ici, de la plus intéressante à la plus anecdotique (qui reste d'ailleurs inachevée) ...
La plus intéressante est déjà présente dans l'article de Duke-Friedlander-Iwaniec :
il s'agit de déduire du théorème l'équirépartition des angles de sommes de Salié.
Commençons par définir ces proches cousines des sommes de Kloosterman.
DéJinition 8.4.1. - Soient a, b E Z et c 2 1 un entier. On note
ax + bZ
T(a,b;c) = C* (E).e(-) c
C
x (mod c )
où (+) est le symbole de Jacobi modulo c, cf. Exemple 2.4.6.
On utilisera simplement le cas c = p premier dans la suite. On a alors :
COURS SPÉCIALISÉS 13
pour tout E 1 > O, en remarquant que (h, nln2) 1 h puisque ni # n2 sont des nombres
premiers et en majorant simplement
T (ni - n2)3 (log x)* < xq
puisque ni < v < x (il est possible de faire mieux puisque l'on va faire une moyenne
sur nl , n2, mais cela suffit ici).
Sommons alors sur ni, n2 pour obtenir la contribution totale des termes ni # ne
à (8.7) : si ~1 < 3 ~ / 4 ,
le premier terme de (8.10) contribue au plus
pour v $
La contribution du second terme est bornée, pour ~1 < ~ / 4 , à une constante
dépendant de D, E et h près, par
Il faut encore tenir compte du terme d'erreur dans (8.8) venant du passage de
C (ni, n2) à C* (nl, n2) : il est
Compte tenu de (8.6) et (8.5), on a donc pour x 2 2
pour tout A > O si w est donné par (8.4) et v = x'/~-', la constante implicite dépendant de D , h, E et A. Cela est suffisant pour prouver (5.42) pour la suite (an) donnée
par (8.3) et finir donc la démonstration de l'équirépartition des racines de l'équation
x2 + D = O modulo p d'après le Corollaire 8.1.2.
8.4. Conclusion et applications
Le Théorème 1.2.1 possède un certain nombres d'applications que nous présentons ici, de la plus intéressante à la plus anecdotique (qui reste d'ailleurs inachevée) ...
La plus intéressante est déjà présente dans l'article de Duke-Friedlander-Iwaniec :
il s'agit de déduire du théorème l'équirépartition des angles de sommes de Salié.
Commençons par définir ces proches cousines des sommes de Kloosterman.
DéJinition 8.4.1. - Soient a, b E Z et c 2 1 un entier. On note
ax + bZ
T(a,b;c) = C* (E).e(-) c
C
x (mod c )
où (+) est le symbole de Jacobi modulo c, cf. Exemple 2.4.6.
On utilisera simplement le cas c = p premier dans la suite. On a alors :
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