et la somme analogue avec n2 1 m au lieu de nl 1 m. Or
9
-
La somme C (ni, n2) est encore du type ('7.26), avec d = nln2 à la place de d (c'est
un entier sans facteurs carrés), h = h (n2 - ni) à la place de h et
à la place de F. On remarque l'importance d'avoir une estimation qui soit aussi
uniforme en h dans le Théorème '7.4.5.
Plus précisément, il faut normaliser j pour qu'elle vérifie (7.1) et ('7.2). Pour la
première notons que C (ni, n2) = O sauf si
de sorte que
avec
(en remplaçant les deux conditions
par la « moyenne géométrique » qu'elles impliquent).
De plus comme O < g(y) < 1 on trouve
et l'estimation dans le Théorème 7.4.5 doit être donc multipliée par ~ ( n ~ n ~ ) - ' / ~
pour en tenir compte. En notant que
et par quelques manipulations similaires à celles de l'Appendice du Chapitre ' 7, on
vérifie que le Théorème '7.4.5 s'applique. Cela prouve que
1/4
C(n1, ne) «D 3C-{x1/2 (nlnq) 1/4 + h (nine)- 1/2,3/4 (n1n2)3/8
dnlng
}
(8.10)
( i o g ~ ) ~ ( 7 ( h ) . r ( n ~
- ni))3
3 3/2
< D , ~ ~
T (h) ( X
(nln2)
+ h1/4~7/4 (nln2) -5/8) xE1
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004