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CHAPITRE 8. ÉQUIRÉPARTITION DES RACINES DE CONGRUENCES QUADRATIQUES
Démonstration. - Posons n = ni = ng . La somme intérieure sur 6 et vi est bornée par
~ ( m n ) ~ ,
et
On considère maintenant le cas ni + ng, et on suppose ceux-ci fixés. Notons
C* (nl, n2) la somme correspondante.
Puisque ni et ng sont premiers, on a (ni, n2) = 1. Dans (8.7), les racines v l et v2
ont même réduction 6 modulo m, donc par le théorème chinois encore, le triplet
(6, V I , v2) correspond bijectivement aux racines v (mod mnln2) de f, c'est-à-dire que
C
P (6) =O P(vi) =O (mod mni)
v , S ( m o d m )
vi=8 (mod m)
- -
C
P ( v ) =O (mod mnl n 2 )
et donc
Démonstration.
Puisque nl et
- Il faut rajouter (de nouveau !) les termes avec (m, nln2) > 1.
ng sont premiers, il suffit de majorer
COURS SPÉCIALISÉS 13