pour tout A > O, la constante implicite dépendant de A.
Autrement dit, au vu du but (5.42), on peut supposer que m et n sont premiers
entre eux, c'est-à-dire n + m (puisque n est premier si Pn # O).
Démonstration. - Il suffit d'estimer la contribution des entiers (m, n) avec n 1 m : on
trouve en utilisant 1 an 1 < T (n) et T (mn) < T (m) T (n) , la majoration
Puisque w »A (log x ) ~
pour tout x 2 2 et tout A > O, la constante implicite ne
dépendant que de A, le lemme s'en déduit.
O
Dans B* (x) , puisque (m, n) = 1, une racine v de P (v) = O (mod mn) (où P =
x2 + D comme précédemment) équivaut, par le théorème chinois, à un couple (6, v)
où 6 (mod m) est une racine modulo m et v (mod n) une racine modulo n. On somme
sur 6 pour chaque m fixé, et on applique alors l'inégalité de Cauchy-Schwarz, non sans
avoir inséré au préalable un facteur
pour obtenir l'inégalité
Lemme 8.3.2. - La contribution à (8.7) des « termes diagonaux » où ni = n2 vémjîe
D < x2 (log x) 4w-1.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004