vérifie les hypothèses de la Proposition 8.1.1 ($ le Lemme 7.A.2), et donc pour tout
E > O, et x 2 xo (E) indépendant de N, on a par celle-ci :
(utilisant 2-N (1 + 6)x 2 fi). Sommant sur N on obtient
donc
pour x 3 xo , la constante implicite dans le facteur Q ( -) étant absolue ( $ ci-dessus).
Comme 6 > O et E > O sont arbitraires, on en déduit aussitôt la proposition.
O
Pour démontrer (8.2), on va appliquer le Corollaire 5.4.11 à
où g est une fonction fixée comme ci-dessus. On a bien entendu Jan\ < ~ ( n ) ,
et il
faut démontrer (5.41) et (5.42), pour les valeurs indiquées des paramètres w , v et y,
avec des constantes implicites indépendantes de g . Noter que a, = O si n 2 x, de
sorte que les conditions de support n < x, mn < x, etc., dans les sommes à venir
portant sur an pourront être omises sans danger. L'uniformité en g dans l'estimation
est une conséquence immédiate de la déduction du Corollaire 5.4.11 à partir du
Théorème 5.4.10.
8.2. Formes linéaires
La forme linéaire (5.39)
satisfait évidemment
pour Iadl < 1. La somme intérieure sur m est une somme du type (7.26) avec
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004