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CHAPITRE 8. ÉQUIRÉPARTITION DES RACINES DE CONGRUENCES QUADRATIQUES
O n a alors
uniformément en termes de g , c'est-à-dire que pour tout E > O, il existe xo ne dépendant que
de h, D et E tel que
pour x 2 xo .
On en déduit le théorème grâce au corollaire final :
Cmollaire 8.1.2. - Pour tout h 2 1, on a
quand x + = +m.
Démonstration. - Fixons 6 > O. Soit + un majorant lisse de [O, x] d'amplitude 1 + 6 ,
cf: Définition 2.3.4. On a
pour x 2 2 d'après le théorème des nombres premiers, la constante implicite étant
absolue.
Par partition de l'unité, il existe des fonctions + N , O < +N < 1, qui sont Cm à
support compact dans
telles que
+ = C+N,
N
et telles que de plus chaque
est tranquille d'ordre arbitrairement grand, par
exemple d'ordre 4.
Le nombre de valeurs de N est « log x. La contribution à
des fonctions +N pour lesquelles TN (1 + 6)x < fi est trivialement majorée par fi.
Pour chacune des autres, la fonction g telle que
CHAPITRE 8. ÉQUIRÉPARTITION DES RACINES DE CONGRUENCES QUADRATIQUES
O n a alors
uniformément en termes de g , c'est-à-dire que pour tout E > O, il existe xo ne dépendant que
de h, D et E tel que
pour x 2 xo .
On en déduit le théorème grâce au corollaire final :
Cmollaire 8.1.2. - Pour tout h 2 1, on a
quand x + = +m.
Démonstration. - Fixons 6 > O. Soit + un majorant lisse de [O, x] d'amplitude 1 + 6 ,
cf: Définition 2.3.4. On a
pour x 2 2 d'après le théorème des nombres premiers, la constante implicite étant
absolue.
Par partition de l'unité, il existe des fonctions + N , O < +N < 1, qui sont Cm à
support compact dans
telles que
+ = C+N,
N
et telles que de plus chaque
est tranquille d'ordre arbitrairement grand, par
exemple d'ordre 4.
Le nombre de valeurs de N est « log x. La contribution à
des fonctions +N pour lesquelles TN (1 + 6)x < fi est trivialement majorée par fi.
Pour chacune des autres, la fonction g telle que