CHAPITRE 8
ÉQUIRÉPARTITION DES RACINES
DE CONGRUENCES QUADRATIQUES ET APPLICATIONS
8.1. Introduction
Nous pouvons maintenant appliquer l'estimation du chapitre précédent (Théorème 7.4.5) et le théorème de crible de la Section 5.4 pour déduire le Théorème 1.2.1.
Soit D > O un entier fixé et h # O un entier. On veut évaluer les sommes de Weyl
s h , ~ ( x > = C ~ h ( ~ > = C C
e(q)
P < X
P 6 X v2+D=0 (modp)
quand x + + m .
On fait deux réductions élémentaires en remarquant que pour tout h
etpour m 2 1
S h , m 2 ~ = ~ m h , ~
( x ) + o(1)
quand x + + m , ce qui permet de supposer dans la suite que h 2 1 et D est sans
facteurs carrés.
Pour des raisons techniques, on commence par estimer des sommes lisses du type
où g est une fonction à support dans [1/2,1].
Proposition 8.1.1. - Soit h 2 1 Jixé, x 2 2 et g : ] O, + m [ + [O, 11 une fonction Cm à
support compact supp ( g ) c [ 1 /2,1] telle que
ÉQUIRÉPARTITION DES RACINES
DE CONGRUENCES QUADRATIQUES ET APPLICATIONS
8.1. Introduction
Nous pouvons maintenant appliquer l'estimation du chapitre précédent (Théorème 7.4.5) et le théorème de crible de la Section 5.4 pour déduire le Théorème 1.2.1.
Soit D > O un entier fixé et h # O un entier. On veut évaluer les sommes de Weyl
s h , ~ ( x > = C ~ h ( ~ > = C C
e(q)
P < X
P 6 X v2+D=0 (modp)
quand x + + m .
On fait deux réductions élémentaires en remarquant que pour tout h
etpour m 2 1
S h , m 2 ~ = ~ m h , ~
( x ) + o(1)
quand x + + m , ce qui permet de supposer dans la suite que h 2 1 et D est sans
facteurs carrés.
Pour des raisons techniques, on commence par estimer des sommes lisses du type
où g est une fonction à support dans [1/2,1].
Proposition 8.1.1. - Soit h 2 1 Jixé, x 2 2 et g : ] O, + m [ + [O, 11 une fonction Cm à
support compact supp ( g ) c [ 1 /2,1] telle que