Appendice : les fonctions tranquilles
Nous développons ici en quelques paragraphes des propriétés strictement élémentaires de la classe des fonctions « qui n'oscillent pas trop », vérifiant essentiellement
des hypothèses du type (7.1) et (7.2). Ce genre de choses est parfaitement standard
mais assez rarement explicité.
Définition 7.A.1. - Une fonction f : ] O, +oo [ + C est tranquille d'ordre k 2 1 si f est
de classe ck, à support compact dans [ y 2Y] avec Y > O, et ses dérivées vérifient
pour O $ j $ k et x > 0.
(La terminologie n'est pas standard). Comme mentionné dans l'introduction, de
telles fonctions sont celles qui n'oscillent pas significativement. La constante pour
la borne de f (ici 1 ) n'est bien entendu pas importante, puisqu'on peut souvent
multiplier f par une constante non nulle pour satisfaire (7.27), mais permet d'éviter
d'introduire un paramètre supplémentaire.
Il est clair intuitivement que l'ensemble de ces fonctions doit être très stable. C'est
ce que l'on va formaliser un peu ...
Lemme 7.A.2. - Soit f u n e fonction tranquille d'ordre k .
(1) Pour tout a > O , la fonction g(x) = f (ax) est tranquille d'ordre k .
(2) 1 1 existe une constante ck ne dépendant que de k tel que la fonction g(x) = ck f ( l / x )
est tranquille d'ordre k .
Soient f et g des fonctions tranquille d'ordre k .
(3) L a fonction fg est tranquille d'ordre k .
Démonstration. - (1) est évident puisque g à support compact dans [Z, 221 avec Z =
Y/a et
g(j) (x) = ai f (j) (ax) , donc 1 g(j) (x) 1 < 1 a' 1 Y -j = 2-j .
(2) s'obtient aisément par récurrence sur k : soit h(x) = f ( l / x ) . Alors h a support
dans [Z, 221 avec Z = ( 2 ~ ) ~ ' '
et h(j) est combinaison linéaire de 2k termes du type
x-" f (m) ( l / x ) avec n, m 2 O et n + m = j , les coefficients étant fonction de n , m et j
seulement. Comme
une estimation triviale donne 1 h(j) (x) 1 < djY -j pour O < j $ k et x > O, la constante
dj > O ne dépendant que de j . Prenant ck = max(dyl) on obtient le résultat.
(3) Il faut appliquer la formule de Leibniz pour la dérivée j-ème ...
O
COURS SPÉCIALISÉS 13
Nous développons ici en quelques paragraphes des propriétés strictement élémentaires de la classe des fonctions « qui n'oscillent pas trop », vérifiant essentiellement
des hypothèses du type (7.1) et (7.2). Ce genre de choses est parfaitement standard
mais assez rarement explicité.
Définition 7.A.1. - Une fonction f : ] O, +oo [ + C est tranquille d'ordre k 2 1 si f est
de classe ck, à support compact dans [ y 2Y] avec Y > O, et ses dérivées vérifient
pour O $ j $ k et x > 0.
(La terminologie n'est pas standard). Comme mentionné dans l'introduction, de
telles fonctions sont celles qui n'oscillent pas significativement. La constante pour
la borne de f (ici 1 ) n'est bien entendu pas importante, puisqu'on peut souvent
multiplier f par une constante non nulle pour satisfaire (7.27), mais permet d'éviter
d'introduire un paramètre supplémentaire.
Il est clair intuitivement que l'ensemble de ces fonctions doit être très stable. C'est
ce que l'on va formaliser un peu ...
Lemme 7.A.2. - Soit f u n e fonction tranquille d'ordre k .
(1) Pour tout a > O , la fonction g(x) = f (ax) est tranquille d'ordre k .
(2) 1 1 existe une constante ck ne dépendant que de k tel que la fonction g(x) = ck f ( l / x )
est tranquille d'ordre k .
Soient f et g des fonctions tranquille d'ordre k .
(3) L a fonction fg est tranquille d'ordre k .
Démonstration. - (1) est évident puisque g à support compact dans [Z, 221 avec Z =
Y/a et
g(j) (x) = ai f (j) (ax) , donc 1 g(j) (x) 1 < 1 a' 1 Y -j = 2-j .
(2) s'obtient aisément par récurrence sur k : soit h(x) = f ( l / x ) . Alors h a support
dans [Z, 221 avec Z = ( 2 ~ ) ~ ' '
et h(j) est combinaison linéaire de 2k termes du type
x-" f (m) ( l / x ) avec n, m 2 O et n + m = j , les coefficients étant fonction de n , m et j
seulement. Comme
une estimation triviale donne 1 h(j) (x) 1 < djY -j pour O < j $ k et x > O, la constante
dj > O ne dépendant que de j . Prenant ck = max(dyl) on obtient le résultat.
(3) Il faut appliquer la formule de Leibniz pour la dérivée j-ème ...
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