7.4. PREUVE INCONDITIONNELLE
Puisque <(l + h ) « h-' pour h > 1, on a pour 3/4 < O < 1
Prenant
avec C > O une constante assez petite, on obtient finalement
Remarque 7.4.6. - L'estimation donnée est uniforme en d et h. On pourrait à première vue se demander pourquoi ne pas traiter h comme fixé puisque cela semble
être le cas pour l'estimation finale des sommes de Weyl. La raison est que, dans le
chapitre suivant, on va utiliser le Théorème 7.4.5 avec des valeurs dqférentes de h pour
traiter les formes bilinéaires du type (5.40) : cela est comparable à ce que l'on a fait
dans la preuve de (5.49) ($ Corollaire 5.5.6).
Remarque 7.4.7. - L'estimation obtenue est non triviale pour tout d et h tels que
d < ( h Y ) 1 / 2 : en effet, la majoration triviale est
n=O (mod d )
que l'on compare aux deux termes « principaux » ( h ~ ) l / ~
et ( h ~ ) ~ / ~ d - ' / ~
: il
n'est donc pas étonnant que cette estimation soit suffisante pour démontrer l'hypothèse (5.41) portant sur les formes linéaires modulo d < x ' / ~ - & , E > O. (Le gain par
rapport à l'estimation triviale devient de plus en plus faible quand d augmente, mais
ce n'est pas ce qui importe le plus : on voit là une manifestation très claire du fait
que c'est l'uni$ormité par rapport au paramètre critique d qui est vitale - du moins
tant que l'estimation est non triviale, même de peu ! )
Noter que pour d = 1 on trouve
pour Y 2 2. Ce résultat suffit (cf: la Section 8.2) à démontrer le résultat de Hooley [Ho] selon lequel les racines de x2 + D = O modulo n 2 1 sont équiréparties
quand n -+ +cm (cJ: Remarque 1.4.6, (3))' et on a alors une bien meilleure estimation
des sommes de Weyl puisque on gagne un facteur Y '14 par rapport à la majoration
évidente.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
Puisque <(l + h ) « h-' pour h > 1, on a pour 3/4 < O < 1
Prenant
avec C > O une constante assez petite, on obtient finalement
Remarque 7.4.6. - L'estimation donnée est uniforme en d et h. On pourrait à première vue se demander pourquoi ne pas traiter h comme fixé puisque cela semble
être le cas pour l'estimation finale des sommes de Weyl. La raison est que, dans le
chapitre suivant, on va utiliser le Théorème 7.4.5 avec des valeurs dqférentes de h pour
traiter les formes bilinéaires du type (5.40) : cela est comparable à ce que l'on a fait
dans la preuve de (5.49) ($ Corollaire 5.5.6).
Remarque 7.4.7. - L'estimation obtenue est non triviale pour tout d et h tels que
d < ( h Y ) 1 / 2 : en effet, la majoration triviale est
n=O (mod d )
que l'on compare aux deux termes « principaux » ( h ~ ) l / ~
et ( h ~ ) ~ / ~ d - ' / ~
: il
n'est donc pas étonnant que cette estimation soit suffisante pour démontrer l'hypothèse (5.41) portant sur les formes linéaires modulo d < x ' / ~ - & , E > O. (Le gain par
rapport à l'estimation triviale devient de plus en plus faible quand d augmente, mais
ce n'est pas ce qui importe le plus : on voit là une manifestation très claire du fait
que c'est l'uni$ormité par rapport au paramètre critique d qui est vitale - du moins
tant que l'estimation est non triviale, même de peu ! )
Noter que pour d = 1 on trouve
pour Y 2 2. Ce résultat suffit (cf: la Section 8.2) à démontrer le résultat de Hooley [Ho] selon lequel les racines de x2 + D = O modulo n 2 1 sont équiréparties
quand n -+ +cm (cJ: Remarque 1.4.6, (3))' et on a alors une bien meilleure estimation
des sommes de Weyl puisque on gagne un facteur Y '14 par rapport à la majoration
évidente.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004