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CHAPITRE 7. ESTIMATION D'UNE SÉRIE DE POINCARÉ
(noter que dans la formule de Kuznetsov, les valeurs de t du côté « dual » ne correspondent qu'à t E R, comme si les éventuelles valeurs propres exceptionnelles t R
avaient disparu.. .)
On doit donc évaluer f (x) . On écrit pour cela (7.17) sous la forme d'une intégrale
complexe en posant (naturellement) s = 1/2 + it :
À cause de (7.20), il est bénéfique de déplacer la droite d'intégration vers la droite
pour gagner dans la majoration de Jv (x) . D'après (7.20), on a pour 1/2 < o < 1 et
t E R, une majoration
et comme dans cette région on a
et que de plus la fonction
y est holomorphe (cf: le Lemme 7.4.2, (2) en particulier), on peut déplacer le contour
vers la droite de partie réelle o pour tout o E [1/2,1[, obtenant
Grâce à cela et au Théorème 7.4.3, on majore la série de sommes de Kloosterman
1
4xh
C ,s (h, h; cd) f (Cd) « d1/2-20 (hy ) 201 (log (y + 2) ) x Cl/2-20
c> 1
(h, cd)
(cd)
c> 1
« d1/2-2"~ (d) (hy )20-1 (log(Y + 2)) (h, d) 1/2 x (h, C) T (c)
c > l
Supposons o > 3/4 donc 20 - 1/2 > 1. On évalue facilement la série en écrivant
qui donne
x (h, C) T (c) c ~ / ~ - ~ "
=
c> 1
COURS SPÉCIALISÉS 13