7.4. PREUVE INCONDITIONNELLE
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et similairement pour les séries d'Eisenstein. En posant m = n = h et en comparant
cela avec ('7.24), on obtient une version préliminaire de la formule désirée
pour tout v E R.
Par
mètre
ad hoc
« superposition >> de telles formules avec une fonction test dépendant du parav qui est à notre disposition, on peut déduire le Théorème 7.4.1. La formule
est
cosh n r
r ( t )
dr = -2cosh x ( r - t ) cosh n ( r + t )
cosh xt '
ainsi que moults identités entre fonctions de Bessel, et estimations d'icelles.
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Cela étant on peut alors fournir une estimation convenable de R d ( h ) , et donc de
Ph (4.
Théorème 7.4.5
(1) Soit D > O un entier3xé. O n a
pour tout d 2 1 et tout h 2 1, la constante implicite étant absolue.
(2) Soit D > O et d 2 1 des entiers sans facteurs carrés. O n a
(7.26)
2 n h a
C P ~ ( ~ ) F ( - )
n=O ( m o d d )
< D ( h ~
) '/' (1 + ( h ~
) '/4d-'/2 ( h , d ) 1 / 4 ) (log ( Y + 2) ) 2 r ( d ) 2 r ( h )
pour toute fonction F vérifiant les hypothèse (7.1) et (7.2), et tout h 2 1, la constante implicite
dépendant de D seulement.
Démonstration. - L'estimation (7.26) provient de la précédente à partir du Corollaire 6.1.11, utilisant (7.7) et le Corollaire 7.2.4 ainsi que le Lemme 6.1.13 pour
contrôler le nombre de termes où évaluer la série de Poincaré lorsque D et d sont
sans facteurs carrés.
Pour (7.25), par le Théorème 7.4.1 et (7.15), il vient
R d ( h ) < h y { f o + y c - ' w , li: c ) f (T)).
dlc
Par (7.16), on a trivialement