les facteurs gamma apparaissant à cause de la formule ( cJ: par exemple [GR, 6.621.31 )
-y s-l/2 3 = G ~ - ~
r ( s - 1/2 + ir)r(s - 1/2 - ir)
s O + " ~ i r ( Y ) e Y
Y
pour Re(s) > 1/2.
On peut en déduire la valeur de (Um 1 Uh) en calculant le développement de
Fourier de Uh : ce calcul est complètement parallèle à celui de E (2, s) = Uo (2, s) dans
la Proposition 6.4.7, et donne :
Les sommes de Kloosterman apparaissent comme étaient apparues les sommes de
Ramanujan dans la preuve de la Proposition 6.4.7, le facteur e(myz) étant la source
du terme e(nF/c) qui, inJine est présent parce que l'équation du déterminant
signifie que 6 = ? i
(mod y ) .
Par continuité on peut étendre cela à w tel que w = 1 + iv avec v E R, et on trouve
4n fi
= 4nfi{6 (m, n) + c c-'S (m, n; c)vV (y)}
dlc
On va comparer cela à un second calcul tout à fait naturel obtenu en utilisant la
décomposition spectrale de Um(., 1 + v) : on a par le Théorème 6.6.1 pour mn # O
(de sorte que (Um 1 uo) = 0)
(Um(., 1 + iv) 1 Un (., 1 + iv)) = C (um(., 1 + iv) 1 uj) (uj 1 u n ( ' 9 1 + iv))
j>l
+ partie Eisenstein similaire.
Mais d'après (7.22), on a par exemple
n2 sinh nv
= 4n (mn) '/'b
m b
J (
) j(n) V C O S ~ ~ T ( V
- tj) C O S ~ X ( V + t j ) '
COURS SPÉCIALISÉS 13