7.4. PREUVE INCONDITIONNELLE
On peut remarquer que (si (a, b, c) = 1 au moins), on trouve de nouveau un
exemple du principe heuristique 4.1.4 de compensation dans les sommes oscillantes :
la somme comporte environ c termes, et est de module au plus c1I2.
On peut prouver élémentairement des majorations du type
avec O < 1 ( O = 1 est la majoration triviale), par exemple O = 3/4 est dû déjà à
Klo~sterman(~), mais la véritable nature de ces sommes (pour p fixé tout au moins !)
ne se comprend bien que dans le cadre de la géométrie algébrique : c'est en utilisant
sa preuve de l'Hypothèse de Riemann pour les courbes algébriques sur les corps
finis que Weil est parvenu à prouver (7.21). De très nombreux, profonds et difficiles
développements ultérieurs proviennent des techniques cohomologiques introduites
par Grothendieck, Deligne, Laumon, Katz tout particulièrement, et d'autres. Pour
une approche élémentaire du cas des courbes, incluant une preuve de la borne de
Weil, voir par exemple [Sc] ; pour les techniques plus avancées, par exemple [KI].
Idées de la démonstration du Théorème 7.4.1. - Il s'agit ici surtout de convaincre les lecteurs de l'existence d'une relation entre les coefficients de Fourier des formes de
Maass (et séries d'Eisenstein) et les sommes de Kloosterman. La forme précise requiert un certain nombre de calculs explicites parfois délicats que nous ne détaillons
pas.
L'idée de la preuve présentée est de comparer deux expressions pour le produit
scalaire de certaines fonctions To (d) -invariantes particulières, qui sont proches cousines de la série de Poincaré Ph (ainsi que des séries d'Eisenstein).
Soit m E Z et posons
qui converge absolument pour Re (w) > 1. Comme pour Ph il s'agit d'une fonction
To (d) -périodique, et UO (z, w ) = E (z, w) est la série d'Eisenstein, mais pour m # O, ce
n'est pas une fonction propre du laplacien hyperbolique. L'essentiel sera d'effectuer
justement la décomposition spectrale de Um (z, w ) .
En tout cas, comme pour le Lemme 7.1.1, on trouve aussitôt que pour toute f E
&p(ro(d)) telle que Af = s(1 - s) f et
T(w - 1/2 + it)I'(w - 1/2 - it)
(f 1 Um) =
bf (m) ,
W)
(*)voir le Problème 1 de l'Examen en Appendice.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
On peut remarquer que (si (a, b, c) = 1 au moins), on trouve de nouveau un
exemple du principe heuristique 4.1.4 de compensation dans les sommes oscillantes :
la somme comporte environ c termes, et est de module au plus c1I2.
On peut prouver élémentairement des majorations du type
avec O < 1 ( O = 1 est la majoration triviale), par exemple O = 3/4 est dû déjà à
Klo~sterman(~), mais la véritable nature de ces sommes (pour p fixé tout au moins !)
ne se comprend bien que dans le cadre de la géométrie algébrique : c'est en utilisant
sa preuve de l'Hypothèse de Riemann pour les courbes algébriques sur les corps
finis que Weil est parvenu à prouver (7.21). De très nombreux, profonds et difficiles
développements ultérieurs proviennent des techniques cohomologiques introduites
par Grothendieck, Deligne, Laumon, Katz tout particulièrement, et d'autres. Pour
une approche élémentaire du cas des courbes, incluant une preuve de la borne de
Weil, voir par exemple [Sc] ; pour les techniques plus avancées, par exemple [KI].
Idées de la démonstration du Théorème 7.4.1. - Il s'agit ici surtout de convaincre les lecteurs de l'existence d'une relation entre les coefficients de Fourier des formes de
Maass (et séries d'Eisenstein) et les sommes de Kloosterman. La forme précise requiert un certain nombre de calculs explicites parfois délicats que nous ne détaillons
pas.
L'idée de la preuve présentée est de comparer deux expressions pour le produit
scalaire de certaines fonctions To (d) -invariantes particulières, qui sont proches cousines de la série de Poincaré Ph (ainsi que des séries d'Eisenstein).
Soit m E Z et posons
qui converge absolument pour Re (w) > 1. Comme pour Ph il s'agit d'une fonction
To (d) -périodique, et UO (z, w ) = E (z, w) est la série d'Eisenstein, mais pour m # O, ce
n'est pas une fonction propre du laplacien hyperbolique. L'essentiel sera d'effectuer
justement la décomposition spectrale de Um (z, w ) .
En tout cas, comme pour le Lemme 7.1.1, on trouve aussitôt que pour toute f E
&p(ro(d)) telle que Af = s(1 - s) f et
T(w - 1/2 + it)I'(w - 1/2 - it)
(f 1 Um) =
bf (m) ,
W)
(*)voir le Problème 1 de l'Examen en Appendice.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004