S (a, b; c) = x * e( +7
x (mod c)
Les sommes de type S(a, b; c) sont appelées sommes de Kloosterman et la fonction Jv
est une fonction de Bessel de première espèce.
Ce résultat est connu sous le nom de formule de Kuznetsov, ou de KuznetsovBruggeman. Dans le cas de To(d), cependant, il a été établi par DeshouillersIwaniec [DII]. Nous donnerons juste une idée rapide de l'une des démonstrations
existantes. Pour une preuve complète, ainsi que pour la variante (également importante) où l'on passe plutôt d'une somme de sommes de Kloosterman pondérée par
une fonction test à une somme sur le spectre du laplacien, on peut voir [Iw4, Ch. 91.
Cette formule intervient dans de très nombreuses applications, en particulier elle
est cruciale pour les résultats déjà cités dans le Chapitre 5 ([FI], [BF'I]) concernant
la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques de grand
module ; voir entre autres [DI11 ou [Iw3] pour un premier aperçu.
Voici les propriétés élémentaires de Jv ( 2 ) , plus qu'il n'en faut pour la suite.
Lemme 7.4.2
(1) Pour v E C jîxé, la fonction Jv est solution de l'équation d~férentielle
z2 f" + z f' + (z2 - v2) f = 0.
(2) Comme fonction de v, Jv (z) est une fonction entière.
(3) On a l'estimation
(7.20)
J~ (y) « e"lvlyRe(v)
pour tout y > O et O < Re (v) < 2, la constante implicite étant absolue.
Démonstration. - Tout cela peut se vérifier directement à partir du développement en
série entière, et de la formule de Stirling pour (7.20) ( CJ la preuve du Lemme '7.1.3).
O
Pour ce qui est des sommes de Kloosterman, nous utiliserons un seul résultat,
permettant de majorer individuellement S(a, b; c) de manière optimale : la borne
obtenue est appelée la borne de Weil.
î7téorème 7.4.3. - On a
(7.21)
1 S (a, b; c) 1 < (a, b, c) 1'2r (c) P 2 .
Remarque 7.4.4. - Ce théorème n'est qu'un exemple parmi ceux concernant l'estimation de sommes exponentielles sur les corpsjînis, mais c'est sans doute le plus important,
tant historiquement que par ses très nombreuses applications, pour beaucoup dues à
l'irruption des sommes de Kloosterman dans la théorie des formes automorphes.
x (mod c)
Les sommes de type S(a, b; c) sont appelées sommes de Kloosterman et la fonction Jv
est une fonction de Bessel de première espèce.
Ce résultat est connu sous le nom de formule de Kuznetsov, ou de KuznetsovBruggeman. Dans le cas de To(d), cependant, il a été établi par DeshouillersIwaniec [DII]. Nous donnerons juste une idée rapide de l'une des démonstrations
existantes. Pour une preuve complète, ainsi que pour la variante (également importante) où l'on passe plutôt d'une somme de sommes de Kloosterman pondérée par
une fonction test à une somme sur le spectre du laplacien, on peut voir [Iw4, Ch. 91.
Cette formule intervient dans de très nombreuses applications, en particulier elle
est cruciale pour les résultats déjà cités dans le Chapitre 5 ([FI], [BF'I]) concernant
la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques de grand
module ; voir entre autres [DI11 ou [Iw3] pour un premier aperçu.
Voici les propriétés élémentaires de Jv ( 2 ) , plus qu'il n'en faut pour la suite.
Lemme 7.4.2
(1) Pour v E C jîxé, la fonction Jv est solution de l'équation d~férentielle
z2 f" + z f' + (z2 - v2) f = 0.
(2) Comme fonction de v, Jv (z) est une fonction entière.
(3) On a l'estimation
(7.20)
J~ (y) « e"lvlyRe(v)
pour tout y > O et O < Re (v) < 2, la constante implicite étant absolue.
Démonstration. - Tout cela peut se vérifier directement à partir du développement en
série entière, et de la formule de Stirling pour (7.20) ( CJ la preuve du Lemme '7.1.3).
O
Pour ce qui est des sommes de Kloosterman, nous utiliserons un seul résultat,
permettant de majorer individuellement S(a, b; c) de manière optimale : la borne
obtenue est appelée la borne de Weil.
î7téorème 7.4.3. - On a
(7.21)
1 S (a, b; c) 1 < (a, b, c) 1'2r (c) P 2 .
Remarque 7.4.4. - Ce théorème n'est qu'un exemple parmi ceux concernant l'estimation de sommes exponentielles sur les corpsjînis, mais c'est sans doute le plus important,
tant historiquement que par ses très nombreuses applications, pour beaucoup dues à
l'irruption des sommes de Kloosterman dans la théorie des formes automorphes.