En plus de la Conjecture de Selberg, la preuve conditionnelle est fondée sur la
conjecture de Rizmanujan-Petersson pour les formes de Maass qui permet d'estimer individuellement les coefficients de Fourier bj (h) . Sans rentrer dans les détails (ou le
choix d'une base arithmétiquement privilégiée des espaces Si (ïO (d)) , liée à l'importante théorie des « opérateurs de Hecke », interviendrait), on la formule ainsi :
Conjecture 7.3.1. - Pour tout j 2 1 et tout n # O, on a
bj (n) «, (cosh ntj) '/2nEd-'+E
pour tout E > O, la constante implicite ne dépendant que de E .
Le facteur exponentiel cosh ntj est nécessairement présent pour avoir une majoration uniforme par rapport à la valeur propre car la normalisation l l ~ j
11 = 1 demande
que la croissance des coefficients compense la décroissance exponentielle de la fonction de Bessel K,1/2(2n1nly) qui intervient aussi dans le développement de Fourier.
Intuitivement, la conjecture se résume en disant que bj (n) e-'itj/2 est essentiellement
borné, uniformément pour tout n et tout j . Le facteur d-' est essentiellement l'inverse du volume Vol (To (d) \H) .
L'énoncé correspondant pour les séries d'Eisenstein est inconditionnellement valide, et se démontre à l'aide des développements de Fourier explicite de celles-ci :
Lemme 7.3.2. - Pour toute pointe a de To (d) et tout t E R, on a pour tout E > O
où
(n, t) est le n-ème coefJicient de Fourier de E, (-, 1/2 + it) , la constante implicite ne
dépendant que de E .
On voit donc que dans (7.14), on a une situation parfaite où le facteur normalisateur cosh ntj (ou cosh nt) est idéalement placé. Puisque
on en déduit que pour tout E > O on a pour d sans facteurs carrés
Rd (h) «, dEh'+,~ (log(Y + 2) )
la constante implicite ne dépendant que de E, en utilisant une forme uniforme
de (6.45) selon laquelle il y a « d valeurs propres (avec multiplicité) avec 1 t ( < 1, et
la borne h < ~ ( d )
pour le nombre de pointes de To (d) si d est sans facteurs carrés.
Précisément (6 [Iw4, 2.31 ) on a
h = C cp((v,w))vw=h
La restriction à d sans facteurs carrés n'est évidemment pas un problème pour
théorème de crible au moment de l'application ($ la Remarque 5.4.5 et (8.9)).
conjecture de Rizmanujan-Petersson pour les formes de Maass qui permet d'estimer individuellement les coefficients de Fourier bj (h) . Sans rentrer dans les détails (ou le
choix d'une base arithmétiquement privilégiée des espaces Si (ïO (d)) , liée à l'importante théorie des « opérateurs de Hecke », interviendrait), on la formule ainsi :
Conjecture 7.3.1. - Pour tout j 2 1 et tout n # O, on a
bj (n) «, (cosh ntj) '/2nEd-'+E
pour tout E > O, la constante implicite ne dépendant que de E .
Le facteur exponentiel cosh ntj est nécessairement présent pour avoir une majoration uniforme par rapport à la valeur propre car la normalisation l l ~ j
11 = 1 demande
que la croissance des coefficients compense la décroissance exponentielle de la fonction de Bessel K,1/2(2n1nly) qui intervient aussi dans le développement de Fourier.
Intuitivement, la conjecture se résume en disant que bj (n) e-'itj/2 est essentiellement
borné, uniformément pour tout n et tout j . Le facteur d-' est essentiellement l'inverse du volume Vol (To (d) \H) .
L'énoncé correspondant pour les séries d'Eisenstein est inconditionnellement valide, et se démontre à l'aide des développements de Fourier explicite de celles-ci :
Lemme 7.3.2. - Pour toute pointe a de To (d) et tout t E R, on a pour tout E > O
où
(n, t) est le n-ème coefJicient de Fourier de E, (-, 1/2 + it) , la constante implicite ne
dépendant que de E .
On voit donc que dans (7.14), on a une situation parfaite où le facteur normalisateur cosh ntj (ou cosh nt) est idéalement placé. Puisque
on en déduit que pour tout E > O on a pour d sans facteurs carrés
Rd (h) «, dEh'+,~ (log(Y + 2) )
la constante implicite ne dépendant que de E, en utilisant une forme uniforme
de (6.45) selon laquelle il y a « d valeurs propres (avec multiplicité) avec 1 t ( < 1, et
la borne h < ~ ( d )
pour le nombre de pointes de To (d) si d est sans facteurs carrés.
Précisément (6 [Iw4, 2.31 ) on a
h = C cp((v,w))vw=h
La restriction à d sans facteurs carrés n'est évidemment pas un problème pour
théorème de crible au moment de l'application ($ la Remarque 5.4.5 et (8.9)).