7.3. PREUVE CONDITIONNELLE
193
Pour un argument plus détaillé, voir [Iw4, 1.81. (Noter qu'on peut voir cette formule comme analogue de la formule intégrale de Cauchy pour les fonctions holomorphes : elle est souvent employée similairement pour estimer une fonction propre
du laplacien sur H ou To (d) \H.)
17
Démonstration de la Proposition 7.2.2. - Puisque L satisfait aux hypothèses, on peut
écrire
ou k est donnée par la proposition. Or puisque î est positive et décroissante, on voit
que k 2 O, ce qui permet par positivité de déduire
(appliquant la Proposition dans le sens opposé) comme annoncé.
On peut estimer assez précisément Ki (x) pour tout z E H (voir par exemple dans
l'article original [Dm] ) , mais pour nous il suffira d'avoir éliminé la dépendance en d.
Corollaire 7.2.4. - Soit D > O Jixé. On a
Kd(7.4 = QU)
pour tout x E A comme dans le Corollaire 6.1.11, tout d 2 1 et tout z E ïo (d) \SL (2, Z) , la
constante implicite dépendant seulement de D .
Démonstration. - On a O < Kd (zx) < Ki (zz) d'après la Proposition 7.2.2. Or Ki est
une fonction SL (2, Z) -périodique, donc
K1 (zx) = Kl (x) .
Puisque x E A parcourt un ensemble fixé pour D fixé, et puisque K est également
fixée, le résultat en découle.
O
Il reste alors simplement à estimer Rd(h) . Ce sera le sujet des deux paragraphes
suivants. D'après le Lemme 7.1.1 et (7.9) on a
7.3. Preuve conditionnelle
La première hypothèse faite est la validité de la Conjecture de Selberg (Conjecture 6.5.9) selon laquelle pour toute forme parabolique de Maass uj dans la base
orthonormée choisie on a hi 3 1/4, donc tj E [O, +oo[.
Utilisant cela dans (7.13) avec le Lemme 7.1.3, il vient
Ira (h7 .
" 1 '
a
cosh xt
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Pour un argument plus détaillé, voir [Iw4, 1.81. (Noter qu'on peut voir cette formule comme analogue de la formule intégrale de Cauchy pour les fonctions holomorphes : elle est souvent employée similairement pour estimer une fonction propre
du laplacien sur H ou To (d) \H.)
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Démonstration de la Proposition 7.2.2. - Puisque L satisfait aux hypothèses, on peut
écrire
ou k est donnée par la proposition. Or puisque î est positive et décroissante, on voit
que k 2 O, ce qui permet par positivité de déduire
(appliquant la Proposition dans le sens opposé) comme annoncé.
On peut estimer assez précisément Ki (x) pour tout z E H (voir par exemple dans
l'article original [Dm] ) , mais pour nous il suffira d'avoir éliminé la dépendance en d.
Corollaire 7.2.4. - Soit D > O Jixé. On a
Kd(7.4 = QU)
pour tout x E A comme dans le Corollaire 6.1.11, tout d 2 1 et tout z E ïo (d) \SL (2, Z) , la
constante implicite dépendant seulement de D .
Démonstration. - On a O < Kd (zx) < Ki (zz) d'après la Proposition 7.2.2. Or Ki est
une fonction SL (2, Z) -périodique, donc
K1 (zx) = Kl (x) .
Puisque x E A parcourt un ensemble fixé pour D fixé, et puisque K est également
fixée, le résultat en découle.
O
Il reste alors simplement à estimer Rd(h) . Ce sera le sujet des deux paragraphes
suivants. D'après le Lemme 7.1.1 et (7.9) on a
7.3. Preuve conditionnelle
La première hypothèse faite est la validité de la Conjecture de Selberg (Conjecture 6.5.9) selon laquelle pour toute forme parabolique de Maass uj dans la base
orthonormée choisie on a hi 3 1/4, donc tj E [O, +oo[.
Utilisant cela dans (7.13) avec le Lemme 7.1.3, il vient
Ira (h7 .
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