Soit k : [O, +oo [ -. R la fonction définie par les tran$ormations successives
L ( t ) eirtdt pour r 3 0.
Alors on a
pour z , w E H , la série convergeant absolument et unqormément sur tout compact.
Idée de la démonstration. - Soit
Si on néglige la convergence de cette série, il est clair qu'il s'agit formellement d'une
fonction automorphe en les deux variables z et W . Fixant w (par exemple), on peut
la développer par le Théorème 6.6.1
La proposition équivaut alors aux formules suivantes :
dxdy
K ( z , w ) u ~ ( z ) - = ~ ( t j ) u j ( w )
y2
dxdy
K ( z , w ) Ea ( z , 1 / 2 + i t ) - = L ( t ) Eu ( w , 1 / 2 + i t ) .
y2
dxdy
k(u(z7 w ) ) f ( 2 )
Y
Y
par définition de K. Les formules voulues sont alors une conséquence du fait général
suivant : l'opérateur intégral défini pour f E L~ ( H ) par
dxdy
Lk f ( w ) = SH k ( U ( z 7 W ) ) f (')
Y
a la propriété que toute fonction automorphe à croissance modérée y telle que A y =
s ( 1 - s ) y , avec s = 1 / 2 + i t , est aussi fonction propre de Lk, précisément