7.2. PREMIÈRE ÉTAPE COMMUNE
et l'intégrale
sont finies pour toute pointe a de To ( d )
(3) L a transformée de Fourier de L
pour r 2 O est positive et décroissante.
Démonstration. - Le point (1) est évident, et le point (3) provient du calcul classique
pour r 2 O, donc
pour r 3 0, qui est clairement positive et décroissante.
Quand à (2), la convergence de la série découle par sommation par partie
de (6.46). L'analogue pour les séries d'Eisenstein est également valide (la borne est
même bien meilleure) : voir [Iw4, Ch. ' 71.
O
Le traitement de Kd (z) est commun aux deux méthodes de preuve et repose sur
un argument de positivité :
Proposition 7.2.2. - O n a pour tout z E H
où Ki (z) est définie comme Kd pour S L ( 2 , Z) , en particulier à l'aide d'une base de formes de
Maass et des séries d Eisenstein pour SL (2, Z) .
Noter donc que ce n'est simplement formel, car les fonctions propres uj dans (7.8)
dépendent de d , ainsi que les pointes et les séries d'Eisenstein.
La preuve est basée sur l'importante proposition suivante, connue sous le nom de
décomposition spectrale d'un noyau automor-he. Pour l'énoncer, définissons u(z, w ) , pour
(z, w) E H x H par l'égalité
2u (z, w) + 1 = cosh d (z, w ) (d étant la distance hyperbolique).
I Z - W ~ ~
(on a u(z, w ) = Im(Z) lm(w) , Cf. [ I w ~ ,
1.11 par exemple).
Proposition 7.2.3. - Soit L une fonction paire holomorphe dans une bande horizontale
1 Im(z)I < 1/2 + 6
où 6 > O, telle que
L ( t ) « ( 1 + 1 t 1) -2-S dans cette bande.