Nous allons maintenant présenter deux arguments menant à une estimation suffisante de Ph ( z ) : le premier est basé sur des conjectures (la Conjecture 6.5.9 de Selberg
et celle dite de Ramanujan-Petersson, $ plus bas) et est alors très rapide. Le second
est entièrement inconditionnel, mais plus long. Les deux sont cependant pédagogiquement utiles : le premier « est » celui utilisé d'abord par Duke-Friedlander-Iwaniec
pourjustifier leur approche, car si, en admettant les énoncés les plus optimistes('), ils
ne parvenaient pas au but, cela signifierait que la méthode est probablement insuffisante. La «vraie » preuve (celle présentée seule dans [DFI]) ne demande guère de
justification, mais démontre quelques-unes des techniques disponibles en l'absence
de ces conjectures (comme on peut souvent contourner l'Hypothèse de Riemann
Généralisée, cJ: la discussion du problème des diviseurs de Titchmarsh dans le Chapitre 4).
7.2. Première étape commune
On commence, dans les deux cas, par séparer les deux problèmes du comportement des harmoniques sur H et des coefficients de Fourier en utilisant l'inégalité de
Cauchy dans (7.6) :
Ph ( z ) < ~d ( z ) 1 / 2 ~ d
( h ) '12
et ~ ( t )
est une fonction définie et positive pour t appartenant au << spectre » du laplacien, tendant assez vite vers O à l'infini pour assurer la convergence de K d ( z ) :
précisément on va prendre
Ce choix s'explique par les propriétés suivantes :
Lemme 7.2.1
(1) O n ~ ( t )
2 O pourt E R o u t = iu, O < u < 1/2.
(2) La séme
(')Optimistes, mais pas du tout déraisonnables : les deux conjectures employées sont appuyées par énormément de résultats numériques, heuristiques et théoriques.
et celle dite de Ramanujan-Petersson, $ plus bas) et est alors très rapide. Le second
est entièrement inconditionnel, mais plus long. Les deux sont cependant pédagogiquement utiles : le premier « est » celui utilisé d'abord par Duke-Friedlander-Iwaniec
pourjustifier leur approche, car si, en admettant les énoncés les plus optimistes('), ils
ne parvenaient pas au but, cela signifierait que la méthode est probablement insuffisante. La «vraie » preuve (celle présentée seule dans [DFI]) ne demande guère de
justification, mais démontre quelques-unes des techniques disponibles en l'absence
de ces conjectures (comme on peut souvent contourner l'Hypothèse de Riemann
Généralisée, cJ: la discussion du problème des diviseurs de Titchmarsh dans le Chapitre 4).
7.2. Première étape commune
On commence, dans les deux cas, par séparer les deux problèmes du comportement des harmoniques sur H et des coefficients de Fourier en utilisant l'inégalité de
Cauchy dans (7.6) :
Ph ( z ) < ~d ( z ) 1 / 2 ~ d
( h ) '12
et ~ ( t )
est une fonction définie et positive pour t appartenant au << spectre » du laplacien, tendant assez vite vers O à l'infini pour assurer la convergence de K d ( z ) :
précisément on va prendre
Ce choix s'explique par les propriétés suivantes :
Lemme 7.2.1
(1) O n ~ ( t )
2 O pourt E R o u t = iu, O < u < 1/2.
(2) La séme
(')Optimistes, mais pas du tout déraisonnables : les deux conjectures employées sont appuyées par énormément de résultats numériques, heuristiques et théoriques.