pour E = * 1. On va considérer le terme correspondant à E = +1 (disons F+ ) , le
second étant exactement similaire.
Inversant la somme et l'intégrale, on trouve
in2-"
"2m + it - 1 / 2 )
F+ ( t ) = - C
sinh nt
22mm!r(m + 1 + it) '
où F est la transformée de Mellin de F, qui est entière puisque F est à support
compact dans ] O, +oo [ .
Intégrant par partie quatre fois dans la définition, on trouve pour s & {O, -1, -2, -3)
h
F ( s ) =
F (y)yS-'dy =
1
F(4) ( y ) y s i 3 ~
s(s+ l ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) 0
par (7.2), la constante implicite étant absolue. En vérifiant ces valeurs séparément
on a, pour tout s,
F ( s ) « ( 1 + I S ~ ) - ~ Y
-O.
Cela nous permet d'estimer F+ ( t ) :
Pour estimer la série, on fait appel à la relation de récurrence de la fonction gamma
pour obtenir
r ( m + 1 + i t ) = (it + m ) . . . (it + l ) r ( i t + 1 ) » rn!lr(it + l ) I ,
et en déduire
C
(2Y ) -2m
« Ir(1 + it) 1-', (le terme m = O ) ,
m$, m!lT(m + 1 + it) 1
la constante implicite étant absolue. Or on a pour t réel (cf: par exemple [GR, 8.3321 )
Ir(1 + it) 1 = -
. J s
i
:
nt
et donc finalement pour t # O
F+(t) « ( 1 + ~ t l ) - ~ ~ ' / ~ ( s i n h n t ) - ' / ~ ~ ~ ~ ' l
d'où le résultat pour Itl 2 1 / 4 (par exemple). Pour t proche de O, en utilisant
l'asymptotique ( [GR, 8.44'7. ( 3 ) ] )
pour It( < 1 / 4 et y < 1 , on obtient la même borne avec le facteur log(Y + 2 ) en plus.
On combine ensuite ces deux estimations.
O
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004