(c'est la formule de Poisson) avec
et si f est (par exemple) Cm à support compact, on a
(par intégrations par partie successives) pour tout N > 1, ce qui permet de majorer
la partie h # O de la série (en général, ce calcul n'a de sens qu'en fonction d'un autre
paramètre dont dépend f ) .
Dans notre cas, il y a deux « quantités inconnues » : d'une part les coefficients
de Fourier des harmoniques (les formes paraboliques de Maass, et les séries d'Eisenstein), et d'autre part les valeurs mêmes de ces harmoniques, ou leur module. Noter
que ce deuxième « problème » est purement hyperbolique puisque le(xt) 1 = 1 pour
tout x, t E R.
Commen~ons cependant par estimer 3 .
Lemme 7.1.3. - Soit t E C tel qque l / 4 + t2 2 O, et F vhjriant les hypothèses
Alors
i ( t ) < (1 + l t l ) - 4 / ~ ( Y i t
cosh nt
+rit + 210g(Y + 2)).
la constante implicite étant absolue.
Noter que pour t vérifiant les hypothèses (y compris t non réel), on
et y" +yy- + 210g (Y + 2) 2 O
('7.1) et ('7.2).
a cosh nt 2 O
Remarque 7.1.4. - Cette estimation est très précise : noter que le facteur Y
est
(à un facteur près) l'intégrale de
sur le support [Y -l, 2Y
de F. On peut
se demander pourquoi mettre le facteur (1 + l t ~ ) - ~
puisque le (cosh
décroît
exponentiellement quand t -+ + m , mais on verra que cette décroissance est exactement compensée par la croissance des coefficients de Fourier. Cela démontre qu'on
a là un résultat quelque peu délicat.
Démonstration. - Comme F est à support compact et Kit est une fonction Ca sur
]O, + m [, l'intégrale k (t) ne pose pas de problème d'existence. Pour la même raison
de localisation, on peut simplement développer Kit (y) en série entière en O pour en
faire l'estimation. Plus précisément, on a ($ par exemple [Iw4, App. BI) pour t # O
où Ikit désigne les fonctions de Bessel à croissance exponentielle déjà mentionnées
dans la preuve de la Proposition 6.3.8. (La croissance est sans importance ici puisque
y est petit). On a le développement
COURS SPÉCIALISÉS 13
et si f est (par exemple) Cm à support compact, on a
(par intégrations par partie successives) pour tout N > 1, ce qui permet de majorer
la partie h # O de la série (en général, ce calcul n'a de sens qu'en fonction d'un autre
paramètre dont dépend f ) .
Dans notre cas, il y a deux « quantités inconnues » : d'une part les coefficients
de Fourier des harmoniques (les formes paraboliques de Maass, et les séries d'Eisenstein), et d'autre part les valeurs mêmes de ces harmoniques, ou leur module. Noter
que ce deuxième « problème » est purement hyperbolique puisque le(xt) 1 = 1 pour
tout x, t E R.
Commen~ons cependant par estimer 3 .
Lemme 7.1.3. - Soit t E C tel qque l / 4 + t2 2 O, et F vhjriant les hypothèses
Alors
i ( t ) < (1 + l t l ) - 4 / ~ ( Y i t
cosh nt
+rit + 210g(Y + 2)).
la constante implicite étant absolue.
Noter que pour t vérifiant les hypothèses (y compris t non réel), on
et y" +yy- + 210g (Y + 2) 2 O
('7.1) et ('7.2).
a cosh nt 2 O
Remarque 7.1.4. - Cette estimation est très précise : noter que le facteur Y
est
(à un facteur près) l'intégrale de
sur le support [Y -l, 2Y
de F. On peut
se demander pourquoi mettre le facteur (1 + l t ~ ) - ~
puisque le (cosh
décroît
exponentiellement quand t -+ + m , mais on verra que cette décroissance est exactement compensée par la croissance des coefficients de Fourier. Cela démontre qu'on
a là un résultat quelque peu délicat.
Démonstration. - Comme F est à support compact et Kit est une fonction Ca sur
]O, + m [, l'intégrale k (t) ne pose pas de problème d'existence. Pour la même raison
de localisation, on peut simplement développer Kit (y) en série entière en O pour en
faire l'estimation. Plus précisément, on a ($ par exemple [Iw4, App. BI) pour t # O
où Ikit désigne les fonctions de Bessel à croissance exponentielle déjà mentionnées
dans la preuve de la Proposition 6.3.8. (La croissance est sans importance ici puisque
y est petit). On a le développement
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