À propos de la dernière définition de F ( t ) , rappelons qu'effectivement, si hi < 1/4
est une valeur propre exceptionnelle, la valeur de tj correspondante est purement
imaginaire. La fonction k est entière comme fonction de t car K v ( y ) l'est comme
fonction de v E C pour y > O et F est à support compact dans ]O, +oo [ .
Démonstration. - Le point (1) est évident par (7.4) puisque uo n'a pas de coefficient
de Fourier non nul pour h # O. Pour (2), on a maintenant, par exemple
(pour h 2 O), d'où le résultat par le changement de variable u = 2nhy dans (7.4). O
Démonstration du Lemme 7.1.1. - On procède comme pour (6.42) avec T = To ( d ) :
dxdy
f(z)F(Znhy)e(-hx)- y2
(car f ( y 4 = f ( 4 )
1 -
dy
=
(Io1 ( % + iy) e(-hx) dx F ( 2 x 4 ~ )
-
Y*
(noter B\H = T,\H) d'où le résultat. Les échanges sont justifiés puisque si F 2 0,
cette dernière intégrale est clairement finie.
O
Ainsi, pour h > 1, (7.3) devient
le terme j = O, la valeur moyenne de Ph, étant nul d'après le Corollaire, (1). Ce
point d'apparence anodine est crucial. L'idée intuitive maintenant est que nous avons
décomposé Ph dans une bonne base de L~ (Tg (d)\H) , de sorte que ce premier coefficient doit représenter la taille approximative de Ph, et qu'en estimant maintenant
individuellement le module des autres termes (ce qui revient à négliger donc leurs
variations de phase) on obtiendra une borne non triviale. L'analogue dans le cas
euclidien serait le suivant : soit f une fonction test sur R, on construit la fonction
périodique
qu'on développe en série de Fourier
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004