7.1. Première réduction
D'après le Lemme 6.1.12, on a Ph E
(ïO ( d ) ) , et on peut appliquer le théorème
de décomposition spectrale (Théorème 6.6.1), de sorte que
pour tout z E H , avec les notations du théorème en question.
Parce que la fonction Ph est définie par une moyenne sur B\ïo(d), on peut calculer le produit scalaire de Ph avec l'une des « harmoniques » u j , ou avec une série
d'Eisenstein : cela est similaire à la formule (6.42) (on peut remarquer que pour
h = O , Po est une série d'Eisenstein incomplète, mais bien entendu c'est le cas h # O
qui est important). Comme, pour F réelle, on a clairement P-h = 4, on peut même
supposer h 2 0 .
Lemme 7.1.1. - Soit f E
(ïo ( d ) ) dont le dCveloPpernent de Fourier à 1 'inJini est
pour z E H . On a alors
On applique cela à f = u j , j 2 0 , et aux séries d'Eisenstein; notons
les développements de Fourier correspondant à l'infini. (Rappelons encore que sj =
1 / 2 + itj est telle que sj ( 1 - sj) = h j est la valeur propre de A pour u j ) .
Corollaire 7.1.2
( 1 ) Si h # O , on a (Ph 1 u o ) = 0 .
( 2 ) Pour j > 1, on a
(Ph 1 u j ) = ( 2 n h ) ' " 2 F ( t j ) b , o ,
et pour toute pointe a de To ( d ) et tout t E R on a
(Ph 1 Ea (-, 1 / 2 + i t ) ) = ( 2 ~ h ) ' / ~ F ( t ) ~ ~ ( h ,
1 / 2 + i t ) ,
où
(7.5)
pour t E C .