CHAPITRE 7
Soit maintenant de nouveau D > O un entier fixé, h E Z, d 2 1 un entier, et
Ph (z) =
F (2nh Im (oz) ) e (h Re (oz) )
o€B\To (4
la série de Poincaré pour To (d) introduite au chapitre précédent (cf: Corollaire 6.1.11)
pour le polynôme quadratique P = X* + D. On suppose que la fonction test
F : [O, +oo [ + C vérifie les hypothèses suivantes :
(7.1)
Elle est à support compact dans [Y ' , 2Y -' ] où Y 2 1.
(7.2)
Elle est de classe Cm et pour O < j < 4 on a I / F ( ~ )
Ilm < ~ j ,
(en particulier IF (x) 1 < 1 pour tout x ) .
Ces hypothèses faciliteront les estimations dans ce chapitre. Dans le suivant, on
construira de telles fonctions par partition de l'unité pour approcher les formes linéaires générales en ph (n) (cf: (6.1)). Noter que la borne sur les dérivées est « naturelle » et signifie que F n'oscille pas significativement : puisque 1 F (x) 1 < 1, F varie
entre -1 et 1 sur un intervalle de longueur Y -' , donc la << pente » moyenne correspondante est bien d'ordre de grandeur Y, et de même pour les dérivées successives :
cela justifie (7.2). Voir l'Appendice à ce chapitre pour quelques propriétés formelles
utiles de ce type de fonctions, qui seront utilisées dans le prochain chapitre.
Notre but est d'évaluer Ph(z) pour z E H , en fonction des variables D, h et d.
On peut le faire pour tout z , mais pour l'application qui nous intéresse, on sait par le
Corollaire 6.1.11 qu'il suffit de considérer z = .ïw où w E A appartient à un ensemble
fini de points, représentants des classes de formes quadratiques de discriminant -D,
et T E To (d) \SL (2, Z) vérifie la condition (6.13). Nous considérons D comme fixé
( D = 1 est déjà fort intéressant, comme on l'a dit), ce qui signifie que w peut être
considéré comme dans un ensemble fixé.
Les variables principales pour l'estimation sont donc d, h et le paramètre Y
de (7.2) qui se ramènera à la longueur de la somme n < x. Ces remarques devraient
permettre de rendre plus lisibles les estimations d'apparence parfois complexe qui
suivront.
Soit maintenant de nouveau D > O un entier fixé, h E Z, d 2 1 un entier, et
Ph (z) =
F (2nh Im (oz) ) e (h Re (oz) )
o€B\To (4
la série de Poincaré pour To (d) introduite au chapitre précédent (cf: Corollaire 6.1.11)
pour le polynôme quadratique P = X* + D. On suppose que la fonction test
F : [O, +oo [ + C vérifie les hypothèses suivantes :
(7.1)
Elle est à support compact dans [Y ' , 2Y -' ] où Y 2 1.
(7.2)
Elle est de classe Cm et pour O < j < 4 on a I / F ( ~ )
Ilm < ~ j ,
(en particulier IF (x) 1 < 1 pour tout x ) .
Ces hypothèses faciliteront les estimations dans ce chapitre. Dans le suivant, on
construira de telles fonctions par partition de l'unité pour approcher les formes linéaires générales en ph (n) (cf: (6.1)). Noter que la borne sur les dérivées est « naturelle » et signifie que F n'oscille pas significativement : puisque 1 F (x) 1 < 1, F varie
entre -1 et 1 sur un intervalle de longueur Y -' , donc la << pente » moyenne correspondante est bien d'ordre de grandeur Y, et de même pour les dérivées successives :
cela justifie (7.2). Voir l'Appendice à ce chapitre pour quelques propriétés formelles
utiles de ce type de fonctions, qui seront utilisées dans le prochain chapitre.
Notre but est d'évaluer Ph(z) pour z E H , en fonction des variables D, h et d.
On peut le faire pour tout z , mais pour l'application qui nous intéresse, on sait par le
Corollaire 6.1.11 qu'il suffit de considérer z = .ïw où w E A appartient à un ensemble
fini de points, représentants des classes de formes quadratiques de discriminant -D,
et T E To (d) \SL (2, Z) vérifie la condition (6.13). Nous considérons D comme fixé
( D = 1 est déjà fort intéressant, comme on l'a dit), ce qui signifie que w peut être
considéré comme dans un ensemble fixé.
Les variables principales pour l'estimation sont donc d, h et le paramètre Y
de (7.2) qui se ramènera à la longueur de la somme n < x. Ces remarques devraient
permettre de rendre plus lisibles les estimations d'apparence parfois complexe qui
suivront.