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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
qu'il existe une minoration uniforme de hl pour q 2 1 (qui correspondrait à une
bande verticale sans zéros de <(s), hors de portée à l'heure actuelle) :
Théorème 6.5.10. - Dans la situation de la conjecture on a Ai 2 3/16 pour tout q 2 1,
cést-à-dire 1/2 6 s < 3/4 si s correspond à une valeur propre exceptionnelle.
Une preuve se trouve dans [Iw4, 11.11. Ce résultat de Selberg n'a été amélioré
pour la première fois qu'assez récemment, grâce aux travaux de Luo-RudnickSarnak [LRS]. Leur résultat est Ai 2 %, et la preuve est basée sur l'étude des
fonctions L automorphes, sujet important dont nous ne pouvons malheureusement
parler faute de place. La même méthode est utilisée pour les progrès encore plus
récents de Kim et Sarnak [KSI.
6.6. Décomposition spectrale complète pour To (q)
Nous énonçons maintenant simplement le théorème qui résulte directement de
l'application du Théorème 6.4.12 et du Théorème 6.5.5, dans le cas de To(q) pour
expliciter simplement le spectre résiduel. On note comme précédemment uo =
(Vol(To ( q ) \H) )-'/* et ( ~ j ) ,
j 2 1, une base orthonormée de $? (To (q)) formée de
formes de Maass, infinie d'après le Théorème 6.5.8, ordonnée par valeurs propres Aj
croissantes : Auj = Ajuj et
O = A. < A l < A2 < . . . < A , ....
On note Aj = sj(l - sj) avec Re(sj) 2 1/2, et sj = 1/2 + ifj.
Théorème 6.6.1. - Soit q 2 1 un entier, f E 9 (ïO (q) ) . On a alors
la série convergeant absolument et unqormément sur tout compact.
Dans le chapitre suivant on va appliquer cette formule à la fonction Ph définie
par (6.14).
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
qu'il existe une minoration uniforme de hl pour q 2 1 (qui correspondrait à une
bande verticale sans zéros de <(s), hors de portée à l'heure actuelle) :
Théorème 6.5.10. - Dans la situation de la conjecture on a Ai 2 3/16 pour tout q 2 1,
cést-à-dire 1/2 6 s < 3/4 si s correspond à une valeur propre exceptionnelle.
Une preuve se trouve dans [Iw4, 11.11. Ce résultat de Selberg n'a été amélioré
pour la première fois qu'assez récemment, grâce aux travaux de Luo-RudnickSarnak [LRS]. Leur résultat est Ai 2 %, et la preuve est basée sur l'étude des
fonctions L automorphes, sujet important dont nous ne pouvons malheureusement
parler faute de place. La même méthode est utilisée pour les progrès encore plus
récents de Kim et Sarnak [KSI.
6.6. Décomposition spectrale complète pour To (q)
Nous énonçons maintenant simplement le théorème qui résulte directement de
l'application du Théorème 6.4.12 et du Théorème 6.5.5, dans le cas de To(q) pour
expliciter simplement le spectre résiduel. On note comme précédemment uo =
(Vol(To ( q ) \H) )-'/* et ( ~ j ) ,
j 2 1, une base orthonormée de $? (To (q)) formée de
formes de Maass, infinie d'après le Théorème 6.5.8, ordonnée par valeurs propres Aj
croissantes : Auj = Ajuj et
O = A. < A l < A2 < . . . < A , ....
On note Aj = sj(l - sj) avec Re(sj) 2 1/2, et sj = 1/2 + ifj.
Théorème 6.6.1. - Soit q 2 1 un entier, f E 9 (ïO (q) ) . On a alors
la série convergeant absolument et unqormément sur tout compact.
Dans le chapitre suivant on va appliquer cette formule à la fonction Ph définie
par (6.14).