6.5. LE SPECTRE DISCRET
Théorème 6.5.8. - Soit q 3 1 un entier et ï = T0 ( q ) . Soit
N ( X ; T ) = C dim SA ( T )
AgX
la fonction de comptage d u nombre de valeurs propres d u laplacien agissant sur i i ? ( T ) , avec
multiplicité. O n a alors
(6.45)
Vol (T\H)
N ( X ; ï ) N
4 7 T
X
quand X + + m .
(Voir par exemple [Iw4,11.1] pour une preuve). Si l'on compte les valeurs propres
par l'intermédiaire du paramètre t tel que s = 1/2 + it, A = s (1 - s) = 1/4 + t2
(choisissant t 2 O où t = iu avec O < u < 1/2), on a
La formule asymptotique (6.45) est appelée la loi de Weyl. H . Weyl en a démontré
l'analogue pour les variétés riemanniennes compactes générales.
Si f est une forme parabolique de Maass de valeur propre A, on a h 2 O puisque
f est dans L~ (I'\H) . D'après la discussion de la Remarque 6.3.10, il y a deux cas :
(1) Si A 2 1/4, on a A = s(1 - s) avec s = 1/2 + it, t E R. (Noter que c'est
toujours le cas pour les séries d'Eisenstein).
(2) Si O < h < 1/4, on a A = s(1 - s) avec s E ] 1/2,1[. Une telle valeur propre
est dite exceptionnelle. D'un certain point de vue, c'est une notion analogue à celle des
hypothétiques zéros de Landau-Siegel des fonctions L de caractères de Dirichlet primitifs réels (6 le Théorème 3.3.2, et les discussions à ce sujet au Chapitre 4). Puisque
la suite des valeurs propres, si infinie, tend vers + m , ce cas ne peut se produire qu'un
nombre fini de fois pour un groupe ï donné.
Il est relativement simple de démontrer (par des méthodes géométriques) qu'il
existe des groupes ï admettant un nombre arbitrairement grand de valeurs propres
exceptionnelles. Cependant, Selberg a conjecturé que dans le cas d'un groupe « arithmétique » (celui qui nous intéresse), par exemple pour ï o ( q ) , cela ne peut arriver :
Conjecture 6.5.9. - Soit q 2 1 u n entier. Si Al est la plus petite valeur propre de A agissant
sur q r o ( 4 ) ) , on a
A 1 2 1/4.
Il existe des q 2 1 pour lesquels 1/4 est effectivement une valeur propre, et c'est
donc le meilleur résultat que l'on puisse espérer. Noter l'analogie avec l'hypothèse
de Riemann : il s'agit de dire que pour toute valeur propre A = s (1 - s) , on a Re ( s ) =
1/2. On pourrait s'attendre à avoir toutes les difficultés présentes dans ce cas, mais
pour diverses raisons la situation est beaucoup plus favorable : Selberg a démontré
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
Théorème 6.5.8. - Soit q 3 1 un entier et ï = T0 ( q ) . Soit
N ( X ; T ) = C dim SA ( T )
AgX
la fonction de comptage d u nombre de valeurs propres d u laplacien agissant sur i i ? ( T ) , avec
multiplicité. O n a alors
(6.45)
Vol (T\H)
N ( X ; ï ) N
4 7 T
X
quand X + + m .
(Voir par exemple [Iw4,11.1] pour une preuve). Si l'on compte les valeurs propres
par l'intermédiaire du paramètre t tel que s = 1/2 + it, A = s (1 - s) = 1/4 + t2
(choisissant t 2 O où t = iu avec O < u < 1/2), on a
La formule asymptotique (6.45) est appelée la loi de Weyl. H . Weyl en a démontré
l'analogue pour les variétés riemanniennes compactes générales.
Si f est une forme parabolique de Maass de valeur propre A, on a h 2 O puisque
f est dans L~ (I'\H) . D'après la discussion de la Remarque 6.3.10, il y a deux cas :
(1) Si A 2 1/4, on a A = s(1 - s) avec s = 1/2 + it, t E R. (Noter que c'est
toujours le cas pour les séries d'Eisenstein).
(2) Si O < h < 1/4, on a A = s(1 - s) avec s E ] 1/2,1[. Une telle valeur propre
est dite exceptionnelle. D'un certain point de vue, c'est une notion analogue à celle des
hypothétiques zéros de Landau-Siegel des fonctions L de caractères de Dirichlet primitifs réels (6 le Théorème 3.3.2, et les discussions à ce sujet au Chapitre 4). Puisque
la suite des valeurs propres, si infinie, tend vers + m , ce cas ne peut se produire qu'un
nombre fini de fois pour un groupe ï donné.
Il est relativement simple de démontrer (par des méthodes géométriques) qu'il
existe des groupes ï admettant un nombre arbitrairement grand de valeurs propres
exceptionnelles. Cependant, Selberg a conjecturé que dans le cas d'un groupe « arithmétique » (celui qui nous intéresse), par exemple pour ï o ( q ) , cela ne peut arriver :
Conjecture 6.5.9. - Soit q 2 1 u n entier. Si Al est la plus petite valeur propre de A agissant
sur q r o ( 4 ) ) , on a
A 1 2 1/4.
Il existe des q 2 1 pour lesquels 1/4 est effectivement une valeur propre, et c'est
donc le meilleur résultat que l'on puisse espérer. Noter l'analogie avec l'hypothèse
de Riemann : il s'agit de dire que pour toute valeur propre A = s (1 - s) , on a Re ( s ) =
1/2. On pourrait s'attendre à avoir toutes les difficultés présentes dans ce cas, mais
pour diverses raisons la situation est beaucoup plus favorable : Selberg a démontré
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