182
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
Pro~osition 6.5.6. - Soit (uj) une suite comme dans le théorème. Pour toute f E 2 ? (T) , on a
dans L~ (T\H). La série conuerge absolument et uniformément sur tout compact si de plus
f E = W Y
Une preuve du Théorème 6.5.5 peut se trouver, par exemple, dans [Iw4, Ch. 41.
L'idée est de former des opérateurs intégraux qui commutent avec le laplacien, et
qui donc agissent sur les espaces propres de celui-ci. On peut choisir - ce n'est pas
entièrement évident - de tels opérateurs qui soient compacts (d'où, par la théorie
générale, l'existence d'une décomposition spectrale avec une suite au plus dénombrable de valeurs propres dont les sous-espaces propres sont de dimension finie) et
dont l'image exhauste g (T) .
Le fait que hl > O provient de ce qu'une forme parabolique de Maass est nécessairement bornée (cf: le développement de Fourier (6.43), la croissance polynomiale des coefficients (6.24) et la décroissance exponentielle des fonctions de Bessel),
l'équation
avec u E L 3 (T) , donc bornée, implique que u sur H est harmonique (au sens euclidien (a,* + $ 2 ) f = O) et bornée, donc constante. Mais une fonction constante # O
n'est pas une forme parabolique.
Remarque 6.5.7. - On a déjà fait remarquer que dans le cas le plus général, il n'est
pas du tout évident que g ( T ) # O. C'est en fait encore une question ouverte que de
décider dans quels cas cela est possible : bien que l'on ait cru assez longtemps (comme
l'avait conjecturé Selberg) que g ( T ) est toujours de dimension infinie, les remarquables travaux de la théorie de déformation spectrale de Phillips-Sarnak [PSI, et
leurs continuations par Deshouillers-Iwaniec [DI2], Wolpert [W] et Luo [Lu] (entre
autres), ont démontré que « génériquement », on a probablement 5 ? (T) = O (Il faut
évidemment préciser ce que signifie l'adjectif générique ici). Le point restant à résoudre est de confirmer la conjecture qui veut que, dans le cas des groupes To(q)
($ (6.12)), la multiplicité dim Sh (T) d'une valeur propre h du laplacien est toujours
relativement petite : il suffirait d'avoir
pour toute h
O, la constante implicite pouvant dépendre de q. Cette conjecture
semble cependant extraordinairement difficile. Il est bien sûr sous-entendu dans cet
énoncé que, dans le cas des groupes To (q) , on a effectivement dim g (To (q)) = +oo :
c'est ce résultat, démontré par Selberg, qui était à l'origine de la première conjecture
optimiste, et on peut même être beaucoup plus précis dans ce cas :
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
Pro~osition 6.5.6. - Soit (uj) une suite comme dans le théorème. Pour toute f E 2 ? (T) , on a
dans L~ (T\H). La série conuerge absolument et uniformément sur tout compact si de plus
f E = W Y
Une preuve du Théorème 6.5.5 peut se trouver, par exemple, dans [Iw4, Ch. 41.
L'idée est de former des opérateurs intégraux qui commutent avec le laplacien, et
qui donc agissent sur les espaces propres de celui-ci. On peut choisir - ce n'est pas
entièrement évident - de tels opérateurs qui soient compacts (d'où, par la théorie
générale, l'existence d'une décomposition spectrale avec une suite au plus dénombrable de valeurs propres dont les sous-espaces propres sont de dimension finie) et
dont l'image exhauste g (T) .
Le fait que hl > O provient de ce qu'une forme parabolique de Maass est nécessairement bornée (cf: le développement de Fourier (6.43), la croissance polynomiale des coefficients (6.24) et la décroissance exponentielle des fonctions de Bessel),
l'équation
avec u E L 3 (T) , donc bornée, implique que u sur H est harmonique (au sens euclidien (a,* + $ 2 ) f = O) et bornée, donc constante. Mais une fonction constante # O
n'est pas une forme parabolique.
Remarque 6.5.7. - On a déjà fait remarquer que dans le cas le plus général, il n'est
pas du tout évident que g ( T ) # O. C'est en fait encore une question ouverte que de
décider dans quels cas cela est possible : bien que l'on ait cru assez longtemps (comme
l'avait conjecturé Selberg) que g ( T ) est toujours de dimension infinie, les remarquables travaux de la théorie de déformation spectrale de Phillips-Sarnak [PSI, et
leurs continuations par Deshouillers-Iwaniec [DI2], Wolpert [W] et Luo [Lu] (entre
autres), ont démontré que « génériquement », on a probablement 5 ? (T) = O (Il faut
évidemment préciser ce que signifie l'adjectif générique ici). Le point restant à résoudre est de confirmer la conjecture qui veut que, dans le cas des groupes To(q)
($ (6.12)), la multiplicité dim Sh (T) d'une valeur propre h du laplacien est toujours
relativement petite : il suffirait d'avoir
pour toute h
O, la constante implicite pouvant dépendre de q. Cette conjecture
semble cependant extraordinairement difficile. Il est bien sûr sous-entendu dans cet
énoncé que, dans le cas des groupes To (q) , on a effectivement dim g (To (q)) = +oo :
c'est ce résultat, démontré par Selberg, qui était à l'origine de la première conjecture
optimiste, et on peut même être beaucoup plus précis dans ce cas :