6.5. LE SPECTRE DISCRET
On en déduit aussitôt que « le laplacien agit sur 2? (I') et g ( T ) >> :
Lemme 6.5.3
(1) soit f E ~ ( I ' )
n i ? ( I ' ) . A l o r s A f E g ( I ' ) .
(2) Soit f E 9 (I') n 2? ( T ) . Alors A f E 2? (I') .
Démonstration. - Puisque A est auto-adjoint et que i T ( T ) et (T) sont orthogonaux
l'un de l'autre, les deux points sont équivalents. Le point (1) s'avère plus facile à
démontrer : en effet, d'après la formule (6.26) calculant le laplacien par séparation
de variables, il est évident que si le terme constant de f en a est nul, alors celui de
A f l'est aussi, et donc A f E $ ? (I') d'après le Lemme 6.5.1.
O
Enfin on définit les objets véritablement essentiels, qui sont les analogues des exponentielles entières en, n E Z, des séries de Fourier (mais bien moins explicites) :
DéJnition 6.5.4. - Soit T < SL(2, R) comme ci-dessus. Une forme parabolique de Maass
f pour I' est une fonction f E g (I') qui est valeur propre du laplacien
On note SA (I') l'espace vectoriel des formes paraboliques de Maass dont la valeur
propre est égale à h.
Puisque une forme de Maass f est de carré intégrable, on a A 2 O. En chaque
pointe a , f admet un développement de Fourier du type
d'après la Proposition 6.3.8, puisque le terme constant doit être nul.
Confirmant l'analogie avec les séries de Fourier et l'importance des formes paraboliques de Maass, il s'avère qu'elles engendrent i? ( T ) au sens hilbertien.
Théorème 6.5.5. - Soit I' comme ci-dessus.
(1) Pour tout h 2 0 , 1 'espace SA (I') est de dimension finie et il existe a u plus une suite
(A,), n 2 1 , telle que An + +CO, de valeurs vémfiant SA (I') # 0 .
(2) Les espaces SA (I') sont deux à deux orthogonaux et leur somme directe hilbertienne est
égale à i i ? ( T ) .
Autrement dit, il existe une suite croissante, qui peut-être finie ou converge sinon vers +CO,
notée
O < A l < h2 < . - a
6
de valeurs propres d u laplacien apssant sur 6? (I') , telles que chaque valeur hi est répétée a u
plus un nombre fini de fois, et il existe pour chaque hi, une forme parabolique uj E Shi (I') ,
telle que Il uj 11 = 1, et telle que la suite ( ~ j )
est une base orthonormée de i? ( T ) .
Concrètement, cela signifie la chose suivante :
On en déduit aussitôt que « le laplacien agit sur 2? (I') et g ( T ) >> :
Lemme 6.5.3
(1) soit f E ~ ( I ' )
n i ? ( I ' ) . A l o r s A f E g ( I ' ) .
(2) Soit f E 9 (I') n 2? ( T ) . Alors A f E 2? (I') .
Démonstration. - Puisque A est auto-adjoint et que i T ( T ) et (T) sont orthogonaux
l'un de l'autre, les deux points sont équivalents. Le point (1) s'avère plus facile à
démontrer : en effet, d'après la formule (6.26) calculant le laplacien par séparation
de variables, il est évident que si le terme constant de f en a est nul, alors celui de
A f l'est aussi, et donc A f E $ ? (I') d'après le Lemme 6.5.1.
O
Enfin on définit les objets véritablement essentiels, qui sont les analogues des exponentielles entières en, n E Z, des séries de Fourier (mais bien moins explicites) :
DéJnition 6.5.4. - Soit T < SL(2, R) comme ci-dessus. Une forme parabolique de Maass
f pour I' est une fonction f E g (I') qui est valeur propre du laplacien
On note SA (I') l'espace vectoriel des formes paraboliques de Maass dont la valeur
propre est égale à h.
Puisque une forme de Maass f est de carré intégrable, on a A 2 O. En chaque
pointe a , f admet un développement de Fourier du type
d'après la Proposition 6.3.8, puisque le terme constant doit être nul.
Confirmant l'analogie avec les séries de Fourier et l'importance des formes paraboliques de Maass, il s'avère qu'elles engendrent i? ( T ) au sens hilbertien.
Théorème 6.5.5. - Soit I' comme ci-dessus.
(1) Pour tout h 2 0 , 1 'espace SA (I') est de dimension finie et il existe a u plus une suite
(A,), n 2 1 , telle que An + +CO, de valeurs vémfiant SA (I') # 0 .
(2) Les espaces SA (I') sont deux à deux orthogonaux et leur somme directe hilbertienne est
égale à i i ? ( T ) .
Autrement dit, il existe une suite croissante, qui peut-être finie ou converge sinon vers +CO,
notée
O < A l < h2 < . - a
6
de valeurs propres d u laplacien apssant sur 6? (I') , telles que chaque valeur hi est répétée a u
plus un nombre fini de fois, et il existe pour chaque hi, une forme parabolique uj E Shi (I') ,
telle que Il uj 11 = 1, et telle que la suite ( ~ j )
est une base orthonormée de i? ( T ) .
Concrètement, cela signifie la chose suivante :