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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
6.5. Le spectre discret
On va d'abord identifier l'espace orthogonal à 8 (T) dans L2 (T\H) .
Lemme 6.5.1. - Soit g (T) = (T) ' . Alors g (I') est 1 'espace des fonctions f dans
L2 (I'\H) telles que, pour toute pointe a de T, le terme constant en a
est n u l presque partout comme fonction ] O, +CO [ 4 C .
On appelle (T) l'espace des fonctions paraboliques.
L'adjectif << parabolique » se réfère à la condition d'annulation des termes
constants en chaque pointe, points fixes d'éléments paraboliques.
Le Lemme 6.5.1 se démontre aisément à partir du lemme suivant.
Lemme 6.5.2. - Soit 4 E C,00 (1 0, +CO [) , a u n e pointe de T et Ea (x; $J) la série d'Eisenstein
incomplète correspondante. Alors o n a pour toute f E L2 (T\H)
Démonstration. - On a
dxdy
dxdy
-
f (2) C w m ( d y z ) ) -
I r \ H
y ~ r ~ \ r
y2
-
dxdy
- Irm\r I (z) c (Y) 7
Y
l'échange de la somme et de l'intégrale étant justifié puisque de toute manière la
somme est finie (cf. la preuve du Lemme 6.4.2) ; l'identification de T,\H avec la
bande verticale O < x < 1 revient à dire que celle-ci est un domaine fondamental
pour l'action de T, sur H : puisque cette action est par translations horizontales
entières, c'est évident.
On trouve donc la formule annoncée.
O
Démonstration d u Lemme 6.5.1. - On a f E 2
? (T) si et seulement si f est orthogonale
à toutes les séries d'Eisenstein incomplètes ; d'après le lemme précédent, cela revient
à dire que le terme constant y H fO,a (y) est orthogonal à C, DO (1 O, +CO [) . Clairement
cela signifie que fo,, = O (presque partout) pour toute pointe.
O