6.4. SÉRIES D'EISENSTEIN
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lorsque r = SL(2, Z) ou To(q) ), on passe par les pôles w E 9 b qui ne posent pas
de problèmes car u, E ~ ~ ( ï ) .
Sur la droite a = 1/2, on utilise l'analogue de la
formule (6.42) ci-dessous et le développement des séries d'Eisenstein (6.32) pour
voir que
(utilisant 7 = 1 - s pour Re(s) = 1/2). Sommant sur après avoir multiplié par
Ea (., s) on trouve
par l'équation fonctionnelle (6.34) des séries d'Eisenstein.
Les intégrales sur la droite de partie réelle 1/2 des deux termes du membre de
droite sont égales (par s t + 1 - s), et (divisées par 2i.n) leur valeur commune est
qui est donc la partie non-résiduelle de (6.29) après déplacement du contour d'intégration. L'expression de gauche est la partie continue dans la formule de décomposition (6.39).
La partie restante de la preuve consiste à démontrer l'existence des coefficients
d'Eisenstein et le fait que cela donne une isométrie : voir par exemple [Iw4, Ch. 71
pour une démonstration complète.
Remarquons pour finir que dans le cas qui nous intéressera de To (q) , on démontre
que le seul pôle des séries d'Eisenstein pour a 2 1/2 est s = 1 (comme pour SL(2, Z) ,
cela peut se remarquer directement sur le développement en série de Fourier des séries d'Eisenstein). On notera alors uo le résidu normalisé correspondant, la constante
(cf: (6.31)), de sorte que le terme résiduel dans le développement spectral est évidemment la valeur moyenne de f sur T\H :
1
dxdy
(f I uo)uo =
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004