6.4. SERIES D'EISENSTEIN
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Réciproquement, si s = p/2, 2s - 1 n'est pas un zéro (ni un pôle) de A (s) , donc
cp(s) a un pôle (d'ordre la multiplicité de p ) en s = p. Il y a un pôle additionnel en
s = 1 provenant du pôle de A(2s - 1) en ce point. (Le pôle en s = 1/2 de cette
même fonction est annulé par le zéro de A(2s)-').
D'après le Théorème 3.3.2, il n'y a pas de zéro vérifiant Re(p) = 1, et donc E (2, s)
est holomorphe, à l'exception du pôle simple en s = 1, pour Re(s) > 1/2. Cela
donne le partie (1) du Théorème 3.3.2, à l'exception du calcul exact du résidu en
s = 1. Mais là tous les termes n # O sont holomorphes, donc le résidu vaut (après un
petit calcul)
1-s -
RessZl E (x, s) = R ~ S , = ~
cp (s) y
-
-
= Vol (SL (2, Z) \H)
A(2)
.n
par le Lemme 6.2.5 (on rappelle la valeur spéciale c(2) = 3 / 6 ; le lecteur qui n'en
connaît pas de preuve la retrouvera par exemple en appliquant la formule de Parseval
à la fonction 1 -périodique valant x sur [- 1 /2,1/2] ) .
Passons à la partie (2) du théorème. On a (6.32) avec cp(s) définie ci-dessus. Multipliant par A(2s), on peut écrire symétriquement
Comme l'échange a t+ b démontre que
on en déduit que
Enfin l'équation cp (s) cp (1 - s) = 1 est une conséquence de l'équation fonctionnelle
A(s) = A(1 - s) de T(s).
O
Remarque 6.4.11. - Noter que la preuve démontre que l'holomorphie de E (x, s) sur
Re(s) 2 1/2 (à l'exception du pôle en 1 ) est équivalente à la non-annulation de c(s)
pour Re(s) 2 1, donc en fait pour Re(s) = 1. La méthode d'Hadamard-de la Vallée
Poussin expliquée après l'énoncé du Théorème 3.3.2 suffirait donc à la démontrer.
On peut même procéder dans l'autre sens : utilisant une preuve générale du
prolongement analytique des séries d'Eisenstein (par exemple comme dans [Iw4,
Ch. 6]), on obtient le Théorème 6.4.6 et on analyse ensuite le développement de
Fourier de E (x, s) . Voir aussi [T2, p. 691 pour un résumé plus élémentaire de ce
genre d'idées.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE: DE FRANCE 2004