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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
Démonstration du Lemme 6.4.10. - Pour SL (2, Z) , d parcourt les éléments inversibles
modulo c 2 1, donc S (O; c) = cp (c) puisque cette somme compte simplement les
éléments d possibles pour un c fixé. Plus généralement, on a
S(h;c)= C * e ( F ) = C d p ( i )
d (mod c )
dl ( n J )
(c'est une somme de Ramanujan, cf: (2.52), calculée en (2.53) ) .
La série de Dirichlet associée à la fonction d'Euler est donnée par (2.12) et celle
associée aux sommes de Ramanujan se calcule aisément
L'application suivante est alors conséquence des propriétés analytiques de la fonction c de Riemann.
Démonstration du Théorème 6.4.6 pour SL (2, Z) . - Soit, comme dans le Théorème 3.2.1
de sorte que, d'une part, A(s) est une fonction méromorphe admettant comme
seules singularités des pôles simples en s = O et s = 1 de résidu = 1 et vérifiant
(Théorème 3.2.1, (4)) et, d'autre part, on peut écrire les coefficients du développement de Fourier de E (x, s) comme
avec
Le prolongement méromorphe de E(x, s) est donc évident à partir de celui de A(s) ,
en utilisant la majoration
et (6.28) qui démontre que la série sur n converge très rapidement pour tout s E C
qui n'est pas de la forme s = p/2 où p est un zéro non trivial de la fonction zêta de
Riemann.
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