6.4. SÉRIES D'EISENSTEIN
de sorte que le changement de variable t = u - x - d / c fournit l'expression
et alors
où
~ ( h ; c ) = C* e ( y ) et ~ + ( y ; c , h j =
d (modc)
Pour terminer on utilise les formules du sous-lemme suivant (voir [GR, 8.380.3,
8.432.51 par exemple) :
Lemme 6.4.9. - Soit s E C tel que Re ( s ) > 1 / 2 . Alors on a
Pour le développement d'une série d'Eisenstein cela donne en reportant un premier développement de Fourier
r ( s - 1 / 2 )
?a,b ( s ) = fi
C s (O; C ) C-*'
c>o
g n ( s ) = C ~ ( n ; c ) c - ~ ' .
c>o
Finalement prenons T = SL(2, Z ) . On a alors :
Lemme 6.4.10. - Si r = SL(2, Z) , on a
S (O; c ) = cp ( c ) fonction d Euler)
Comme on a
ce lemme et le développement ci-dessus terminent la preuve de la proposition.
O