174
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
o ù (c, d ) parcourt l'ensemble des secondes lignes possibles pour T avec c > O et d est déJini
modulo 1 'addition d'un multiple entier de c .
Si y = T0 (q) , avec q 2 1 , d parcourt l'ensemble des éléments de (Z/qZ) .
Démonstration. - Il s'agit de trouver un ensemble de représentants pour les doubles
classes T, yT,
: en effet celles-ci forment une partition de T.
Supposons ï = To (q) et a = b pour simplifier. Si une matrice
est dans I' et c = O, alors y E Tm, la double classe triviale.
Sinon, on peut supposer c > O puisque -1 E T ; tout entier c tel que q 1 c intervient
dans une seconde ligne (c, d) de To (q) , et ad - bc = 1 implique que d est inversible
modulo d. On a l'identité
qui démontre que dans la double classe de y, le coefficient c est constant et d est
bien défini modulo c.
De plus, la double classe ne dépend pas de a : en effet, si
ilvient yy;' ca
= ca donc y y l l E Tm.
Démonstration de la Proposition 6.4.7. - Nous procédons avec une généralité décroissante pour arriver au seul cas de SL(2, Z) .
On a d'abord pour toute fonction $l telle que la série converge absolument
et en utilisant la décomposition donnée par le lemme ceci est égal à
I
(2) + Ç Ç E $1 ((: ; ) 7 % ~ )
c>0 d (mod c) nez
où 7% est toujours la translation par n. La somme intérieure sur n peut être transformée par la formule de Poisson
Supposons pour continuer que $l ( 2 ) = $(Im(z)) (le cas des séries d'Eisenstein,
incomplètes ou ordinaires) : alors on a
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
o ù (c, d ) parcourt l'ensemble des secondes lignes possibles pour T avec c > O et d est déJini
modulo 1 'addition d'un multiple entier de c .
Si y = T0 (q) , avec q 2 1 , d parcourt l'ensemble des éléments de (Z/qZ) .
Démonstration. - Il s'agit de trouver un ensemble de représentants pour les doubles
classes T, yT,
: en effet celles-ci forment une partition de T.
Supposons ï = To (q) et a = b pour simplifier. Si une matrice
est dans I' et c = O, alors y E Tm, la double classe triviale.
Sinon, on peut supposer c > O puisque -1 E T ; tout entier c tel que q 1 c intervient
dans une seconde ligne (c, d) de To (q) , et ad - bc = 1 implique que d est inversible
modulo d. On a l'identité
qui démontre que dans la double classe de y, le coefficient c est constant et d est
bien défini modulo c.
De plus, la double classe ne dépend pas de a : en effet, si
ilvient yy;' ca
= ca donc y y l l E Tm.
Démonstration de la Proposition 6.4.7. - Nous procédons avec une généralité décroissante pour arriver au seul cas de SL(2, Z) .
On a d'abord pour toute fonction $l telle que la série converge absolument
et en utilisant la décomposition donnée par le lemme ceci est égal à
I
(2) + Ç Ç E $1 ((: ; ) 7 % ~ )
c>0 d (mod c) nez
où 7% est toujours la translation par n. La somme intérieure sur n peut être transformée par la formule de Poisson
Supposons pour continuer que $l ( 2 ) = $(Im(z)) (le cas des séries d'Eisenstein,
incomplètes ou ordinaires) : alors on a