6.4. SÉRIES D'EISENSTEIN
î7zéorème 6.4.6
(1) Pour toute pointe a, la série d'Eisenstein Ea (z, s) admet un prolongement analytique en
s E C en une fonction méromorphe. Celle-ci a un pôle en s = 1 de résidu constant
Res,=i Ea (2, s) =
1
Vol (T\H)
et en plus de celui-ci seulement un nombre $ni de pôles pour Re (s) 2 1 /2, qui sont réels et
pour lesquels le résidu est u n e fonction de z, fonction propre dans L~ (T\H) d u laplacien de
valeurpropre s ( l - s ) E [O, 1/41.
(2) Les séries d'Eisenstein admettent un diveloflement de Fourier en une pointe b d u type
(6.32)
E a ( ~ b ~ ,
S) = ~ ( a ,
b)ys + va,b (s)yl-' + termes non constants
tel que la matrice de dispersion @ (s) =
( s ) ) vénjîe 1 'équation
(6.33)
@(s)@(l - S) = Id
et le uecteur colonne E (2, s) = (Eu (2, s) ) a vénjîe 1 'équation fonctionnelle matricielle
(6.34)
E (z, s) = @ (s) E (z,1 - s ) .
Nous ne pouvons donner la preuve générale, mais fort heureusement pour le cas
qui nous intéresse de To(q), q 2 1 entier, il existe des arguments beaucoup plus
élémentaires et arithmétiques, basés simplement sur le calcul explicite du développement de Fourier des séries d'Eisenstein. Comme de plus ce calcul est extrêmement intéressant et révélateur, indépendamment même de son application au Théorème 6.4.6, en raison des liens fascinants avec les fonctions L de Dirichlet et leurs
propres propriétés analytiques, il est naturel de le présenter.
Proposition 6.4.7. - Soit T = SL (2, Z) . L a série d 'Eisenstein E (2, s) = E, (z, s ) admet le
diveloppement de Fourier
On commence par un lemme concernant la structure d'un sous-groupe discret
de G.
Lemme 6.4.8. - Soit T < G comme ci-dessus, a , b des pointes de T. O n suppose -1 E T.
O n a alors une décomposition en double classes disjointes
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
î7zéorème 6.4.6
(1) Pour toute pointe a, la série d'Eisenstein Ea (z, s) admet un prolongement analytique en
s E C en une fonction méromorphe. Celle-ci a un pôle en s = 1 de résidu constant
Res,=i Ea (2, s) =
1
Vol (T\H)
et en plus de celui-ci seulement un nombre $ni de pôles pour Re (s) 2 1 /2, qui sont réels et
pour lesquels le résidu est u n e fonction de z, fonction propre dans L~ (T\H) d u laplacien de
valeurpropre s ( l - s ) E [O, 1/41.
(2) Les séries d'Eisenstein admettent un diveloflement de Fourier en une pointe b d u type
(6.32)
E a ( ~ b ~ ,
S) = ~ ( a ,
b)ys + va,b (s)yl-' + termes non constants
tel que la matrice de dispersion @ (s) =
( s ) ) vénjîe 1 'équation
(6.33)
@(s)@(l - S) = Id
et le uecteur colonne E (2, s) = (Eu (2, s) ) a vénjîe 1 'équation fonctionnelle matricielle
(6.34)
E (z, s) = @ (s) E (z,1 - s ) .
Nous ne pouvons donner la preuve générale, mais fort heureusement pour le cas
qui nous intéresse de To(q), q 2 1 entier, il existe des arguments beaucoup plus
élémentaires et arithmétiques, basés simplement sur le calcul explicite du développement de Fourier des séries d'Eisenstein. Comme de plus ce calcul est extrêmement intéressant et révélateur, indépendamment même de son application au Théorème 6.4.6, en raison des liens fascinants avec les fonctions L de Dirichlet et leurs
propres propriétés analytiques, il est naturel de le présenter.
Proposition 6.4.7. - Soit T = SL (2, Z) . L a série d 'Eisenstein E (2, s) = E, (z, s ) admet le
diveloppement de Fourier
On commence par un lemme concernant la structure d'un sous-groupe discret
de G.
Lemme 6.4.8. - Soit T < G comme ci-dessus, a , b des pointes de T. O n suppose -1 E T.
O n a alors une décomposition en double classes disjointes
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004