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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
A << agit » sur CY (I') est intuitivement clair en différentiant (6.29), et sera redémontré
dans la section suivante (Lemme 6.5.3).
Il reste à démontrer la convergence. On peut supposer a = cm par conjugaison et
la série devient
Supposons r < SL(2,Z) d'indice fini : la somme des modules est majorée par
celle correspondant à SL(2, Z) même, pour laquelle on peut utiliser la description
explicite de B\SL(2,Z) (Remarque 6.1.8) et T
, = f B pour majorer
qui se compare pour tout o fixé à l'intégrale double
et converge donc pour 20 - 1 > 1, i.e. o > 1 comme annoncé.
O
Comme s(1 - s) & [O, +oo[ pour Re(s) 2 1, le Lemme 6.3.7 démontre que
Ea (., s) & L~ (T\H) . La décomposition (6.29) qui peut paraître prometteuse par analogie avec l'intégrale de Fourier est en fait un objet bien différent. D'une certaine
façon, les séries d'Eisenstein sont plutôt analogues aux exponentielles complexes e,,
avec a E C. Comme dans ce cas, elles ne peuvent faire partir du « spectre » que si
la valeur propre s(1 - s) est > 0, c'est-à-dire Re(s) = 1/2 ou O < s < 1. Or ces
points ne sont pas dans la région de convergence absolue. Comme pour la fonction
zêta de Riemann, et comme dans bien d'autres cas déjà aperçus dans la Section 2.3,
la clé va être le prolongement analytique des séries d'Eisenstein à C , qui permettra de
parler des séries « unitaires » Ea (z,1/2 + it) , analogue des exponentielles réelles de
la transformée de Fourier.
Mais on va voir aussi une subtilité supplémentaire : pour décomposer une série
d'Eisenstein incomplète définie par une pointe a , il faut faire intervenir en fait toutes
les séries d'Eisenstein Eb (., s) pour toutes les pointes.
Le prolongement analytique des séries d'Eisenstein dans le cadre général d'un
sous-groupe discret I' tel que Vol(I'\H) < +cm n'est pas une mince affaire : il est
dû originellement à Selberg. Bien d'autres démonstrations ont été trouvées(4) mais il
s'agit d'un fait profond et délicat.
(4) La plus simple est sans doute celle de Y Colin de Verdière [CdV].
COURS SPÉCWISÉS 13
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
A << agit » sur CY (I') est intuitivement clair en différentiant (6.29), et sera redémontré
dans la section suivante (Lemme 6.5.3).
Il reste à démontrer la convergence. On peut supposer a = cm par conjugaison et
la série devient
Supposons r < SL(2,Z) d'indice fini : la somme des modules est majorée par
celle correspondant à SL(2, Z) même, pour laquelle on peut utiliser la description
explicite de B\SL(2,Z) (Remarque 6.1.8) et T
, = f B pour majorer
qui se compare pour tout o fixé à l'intégrale double
et converge donc pour 20 - 1 > 1, i.e. o > 1 comme annoncé.
O
Comme s(1 - s) & [O, +oo[ pour Re(s) 2 1, le Lemme 6.3.7 démontre que
Ea (., s) & L~ (T\H) . La décomposition (6.29) qui peut paraître prometteuse par analogie avec l'intégrale de Fourier est en fait un objet bien différent. D'une certaine
façon, les séries d'Eisenstein sont plutôt analogues aux exponentielles complexes e,,
avec a E C. Comme dans ce cas, elles ne peuvent faire partir du « spectre » que si
la valeur propre s(1 - s) est > 0, c'est-à-dire Re(s) = 1/2 ou O < s < 1. Or ces
points ne sont pas dans la région de convergence absolue. Comme pour la fonction
zêta de Riemann, et comme dans bien d'autres cas déjà aperçus dans la Section 2.3,
la clé va être le prolongement analytique des séries d'Eisenstein à C , qui permettra de
parler des séries « unitaires » Ea (z,1/2 + it) , analogue des exponentielles réelles de
la transformée de Fourier.
Mais on va voir aussi une subtilité supplémentaire : pour décomposer une série
d'Eisenstein incomplète définie par une pointe a , il faut faire intervenir en fait toutes
les séries d'Eisenstein Eb (., s) pour toutes les pointes.
Le prolongement analytique des séries d'Eisenstein dans le cadre général d'un
sous-groupe discret I' tel que Vol(I'\H) < +cm n'est pas une mince affaire : il est
dû originellement à Selberg. Bien d'autres démonstrations ont été trouvées(4) mais il
s'agit d'un fait profond et délicat.
(4) La plus simple est sans doute celle de Y Colin de Verdière [CdV].
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