6.4. SÉRIES D'EISENSTEIN
171
pour SL(2, Z) ; il suffit de remarquer que L est bien définie sur le domaine fondamental). Cela permet de parler de fonctions I'-périodiques paires, c'est-à-dire telle
que f O L = f , ou impaires, si f O L = - f . Les deux espaces correspondant forment
une décomposition de L2 (I'\H) :
L2 = L; @ L?.
Dans le cas de SL(2, Z) il est évident que chacun est de dimension infinie (regarder
encore F ) , et donc 27 (SL (2, Z) ) c L: ne peut être égal à L2.
L'étude de l'orthogonal de 27 (I') sera faite dans la section suivante. Nous décrivons
maintenant la décomposition spectrale de A agissant sur E" (T) .
Proposition 6.4.5
(1) Pour toute + et toute pointe a on a
si o > 1, où Ea (z, s ) est la série d'Eisenstein en la pointe a déJinie par
Eu (z, s ) = C 1m (oi1yz)
yd'n\T
De plus AEa ( ; +) E E" (T) .
(2) L a série d'Eisenstein converge absolument pour Re (s) > 1 et déJinit dans cette région
une fonction holomorphe de s telle que
(3) O n a pour tout s jîxé tel que Re (s) > 1
c'est-à-dire que les séries d Eisenstein sont fonctions propres d u laplacien hyperbolique.
Démonstration. - L'équation (6.29) est évidente formellement en écrivant la transformation de Mellin (cf: (2.21))
valable pour tout o E R car $J est à support compact dans ]O, +oo[ (Proposition 2.3.3, (2)), et en sommant sur y. La question est de justifier la convergence,
c'est-à-dire de démontrer que la série (6.30) converge pour Re(s) > 1 (c'est pour
h
avoir un demi-plan « vers la droite » qu'on utilise 4 (-s) ci-dessus).
Puisque AyS = s(1- s)yS (cf: aussi le calcul du terme n = O dans le développement
de Fourier (6.22)), la convergence de la série d'Eisenstein et l'invariance par SL(2, R)
suffira à établir que Ea (., s) est une fonction propre de A (c'est-à-dire (3)). Le fait que
171
pour SL(2, Z) ; il suffit de remarquer que L est bien définie sur le domaine fondamental). Cela permet de parler de fonctions I'-périodiques paires, c'est-à-dire telle
que f O L = f , ou impaires, si f O L = - f . Les deux espaces correspondant forment
une décomposition de L2 (I'\H) :
L2 = L; @ L?.
Dans le cas de SL(2, Z) il est évident que chacun est de dimension infinie (regarder
encore F ) , et donc 27 (SL (2, Z) ) c L: ne peut être égal à L2.
L'étude de l'orthogonal de 27 (I') sera faite dans la section suivante. Nous décrivons
maintenant la décomposition spectrale de A agissant sur E" (T) .
Proposition 6.4.5
(1) Pour toute + et toute pointe a on a
si o > 1, où Ea (z, s ) est la série d'Eisenstein en la pointe a déJinie par
Eu (z, s ) = C 1m (oi1yz)
yd'n\T
De plus AEa ( ; +) E E" (T) .
(2) L a série d'Eisenstein converge absolument pour Re (s) > 1 et déJinit dans cette région
une fonction holomorphe de s telle que
(3) O n a pour tout s jîxé tel que Re (s) > 1
c'est-à-dire que les séries d Eisenstein sont fonctions propres d u laplacien hyperbolique.
Démonstration. - L'équation (6.29) est évidente formellement en écrivant la transformation de Mellin (cf: (2.21))
valable pour tout o E R car $J est à support compact dans ]O, +oo[ (Proposition 2.3.3, (2)), et en sommant sur y. La question est de justifier la convergence,
c'est-à-dire de démontrer que la série (6.30) converge pour Re(s) > 1 (c'est pour
h
avoir un demi-plan « vers la droite » qu'on utilise 4 (-s) ci-dessus).
Puisque AyS = s(1- s)yS (cf: aussi le calcul du terme n = O dans le développement
de Fourier (6.22)), la convergence de la série d'Eisenstein et l'invariance par SL(2, R)
suffira à établir que Ea (., s) est une fonction propre de A (c'est-à-dire (3)). Le fait que