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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
La convergence est en réalité triviale car, du fait que + est à support compact dans
]O, +m [, la somme définissant Ea (., +) est $nie, uniformément pour tout z E H. Cela
étant acquis, il est alors évident que la série d'Eisenstein incomplète est dans 9 (ï) .
Pour établir l'affirmation ci-dessus, supposons supp(4) c [A, BI avec O < A < B <
+m. Un argument de comptage assez élémentaire basé sur le fait que le groupe ï est
discret dans SL(2, R) démontre alors que le nombre de solutions y E ï a \ T à l'inégalité
1m ( a; ' yz) > A est uniformément borné pour z E H ($ [Iw4, Lemma 2.101 ) .
Par exemple, si ï = SL(2, Z) , ou d'indice fini dans SL(2, Z) avec a = m. On peut
supposer z E Fi, par ï-invariance, donc y y0 = \/3/2. On a
Y
Im(yz) = -
( c i + d(2 '
($ (6.8)) avec les notations habituelles pour la matrice y. Donc si y contribue non
trivialement à E, (z; 4) , on doit avoir
Y
> A .
Icz + dl2
Si c # O, on a (cz + dl 2 3c2/4 > 3/4, donc
Il vient ensuite (cl < (a) l , et (cx + dl < Jy/A'. Pour un c # O fixé, cette dernière
inégalité a au plus « Jy/Ai solutions d, d'où un nombre total de couples (c, d) , avec
c # 0, qui est
Pour c = 0, on a y E ï
, = f B (puisque ad = 1 donc a = d = 1 ou a = d = - l ) , et
donc cela donne au plus une solution supplémentaire. Finalement, d'après la Remarque 6.1.8, les paires (c, d) fournissent la paramétrisation de B \ ï et ï , \ T est plus
petit.
O
Faisant varier +, on obtient ainsi un grand espace de fonctions automorphes.
Déjinition 6.4.3. - Le sous-espace d'Eisenstein de L~ ( ï \ H ) , noté
est l'adhérence dans L* ( ï \ H ) de l'espace engendré par toutes les séries d'Eisenstein
incomplètes en toutes les pointes.
Remarque 6.4.4. - On pourrait assez naturellement penser d'abord que cet espace
est en fait égal à L~ ( ï \ H ) . Mais il est facile de voir que cela ne peut être le cas en
général : en effet, si L : H 4 H est la réflexion z I + -Z, qui est une isométrie de H
pour la métrique hyperbolique, on a toujours Ea (L (2); +) = Ea (z; 4). Si 1 normalise le
groupe ï, elle définit au quotient une involution sur ï \ H . (C'est le cas par exemple
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
La convergence est en réalité triviale car, du fait que + est à support compact dans
]O, +m [, la somme définissant Ea (., +) est $nie, uniformément pour tout z E H. Cela
étant acquis, il est alors évident que la série d'Eisenstein incomplète est dans 9 (ï) .
Pour établir l'affirmation ci-dessus, supposons supp(4) c [A, BI avec O < A < B <
+m. Un argument de comptage assez élémentaire basé sur le fait que le groupe ï est
discret dans SL(2, R) démontre alors que le nombre de solutions y E ï a \ T à l'inégalité
1m ( a; ' yz) > A est uniformément borné pour z E H ($ [Iw4, Lemma 2.101 ) .
Par exemple, si ï = SL(2, Z) , ou d'indice fini dans SL(2, Z) avec a = m. On peut
supposer z E Fi, par ï-invariance, donc y y0 = \/3/2. On a
Y
Im(yz) = -
( c i + d(2 '
($ (6.8)) avec les notations habituelles pour la matrice y. Donc si y contribue non
trivialement à E, (z; 4) , on doit avoir
Y
> A .
Icz + dl2
Si c # O, on a (cz + dl 2 3c2/4 > 3/4, donc
Il vient ensuite (cl < (a) l , et (cx + dl < Jy/A'. Pour un c # O fixé, cette dernière
inégalité a au plus « Jy/Ai solutions d, d'où un nombre total de couples (c, d) , avec
c # 0, qui est
Pour c = 0, on a y E ï
, = f B (puisque ad = 1 donc a = d = 1 ou a = d = - l ) , et
donc cela donne au plus une solution supplémentaire. Finalement, d'après la Remarque 6.1.8, les paires (c, d) fournissent la paramétrisation de B \ ï et ï , \ T est plus
petit.
O
Faisant varier +, on obtient ainsi un grand espace de fonctions automorphes.
Déjinition 6.4.3. - Le sous-espace d'Eisenstein de L~ ( ï \ H ) , noté
est l'adhérence dans L* ( ï \ H ) de l'espace engendré par toutes les séries d'Eisenstein
incomplètes en toutes les pointes.
Remarque 6.4.4. - On pourrait assez naturellement penser d'abord que cet espace
est en fait égal à L~ ( ï \ H ) . Mais il est facile de voir que cela ne peut être le cas en
général : en effet, si L : H 4 H est la réflexion z I + -Z, qui est une isométrie de H
pour la métrique hyperbolique, on a toujours Ea (L (2); +) = Ea (z; 4). Si 1 normalise le
groupe ï, elle définit au quotient une involution sur ï \ H . (C'est le cas par exemple
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